右連続左極限
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/17 00:45 UTC 版)
数学における右連続左極限関数（みぎれんぞくひだりきょくげんかんすう、英: right continuous with left limits, RCLL; 仏: continue à droite, limite à gauche, càdlàg）は、実数直線上で（あるいはその部分集合上で）定義された関数で、至る所右連続かつ左極限を持つものを言う。右連続左極限関数は、（連続なパスを持つブラウン運動とは異なり）パスの跳びを許す（あるいは要求する）確率過程の研究において重要である。与えられた定義域上の右連続左極限関数全体の成す集合はスコロホッド空間 (Skorokhod space) と呼ばれる。
- 1 右連続左極限とは
- 2 右連続左極限の概要
- 3 参考文献
スコロホッド空間
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E から M への càdlàg 関数全体の成す空間をしばしば D(E; M) あるいは単に D と書いて、スコロホッド空間 (Skorokhod space) と呼ぶ（ソヴィエトの数学者アナトリー・スコロホッド（英語版）に因む）。スコロホッド空間には、直観的に言えば「時間と空間を少し飛び跳ねる」こと ("wiggle space and time a bit") が許されるような位相を入れることができる（旧来的な一様収束の位相では「空間を少し飛び跳ねる」ことしかできない）。簡単のため、E = [0, T] および M = Rn ととる（より一般の構成については文献 (Billingsley 1995)を見よ）。 まずは連続度（英語版）に対応する類似の概念 ϖ′ƒ(δ) を定義せねばならない。任意の F ⊆ E に対して、 w f ( F ) := sup s , t ∈ F | f ( s ) − f ( t ) | {\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|} とおき、δ > 0 に対して càdlàg 度 (càdlàg modulus) を ϖ f ′ ( δ ) := inf Π max 1 ≤ i ≤ k w f ( [ t i − 1 , t i ) ) {\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i}))} なるものと定める。ただし、下限は任意の分割 Π = {0 = t0 < t1 < … < tk=T} (k ∈ N, かつmini (ti − ti−1)> δ) に亙って取る。この定義は（通常の連続度が不連続関数に対して意味を持つのと同様に）càdlàg でない ƒ に対しても意味を持ち、ƒ が càdlàg であるための必要十分条件は ϖ′ƒ(δ) → 0 (as δ → 0) であることが示せる。 いま、Λ は E から E への狭義単調増大連続全単射（これらは「時間を飛び跳ねる」）全体の成す集合とする。E 上の一様ノルムを ‖ f ‖ := sup t ∈ E | f ( t ) | {\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|} と書くとき、D 上のスコロホッド距離 (Skorokhod metric) σ を σ ( f , g ) := inf λ ∈ Λ max { ‖ λ − I ‖ , ‖ f − g ∘ λ ‖ } {\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\}} と定める。ここで I: E → E は恒等写像である。直観的な「飛び跳ね」("wiggle") の言葉で言えば、||λ − I|| は「時間を飛び跳ねる」大きさを測るものであり、||ƒ − g ∘ λ|| は「空間を飛び跳ねる」大きさを測るものである。 このスコロホッド距離函数 σ が実際に距離関数となることが示せる。σ の生成する位相 Σ を D 上のスコロホッド位相と呼ぶ。
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