広義固有ベクトル 広義固有ベクトルの計算

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広義固有ベクトル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/06 09:12 UTC 版)

広義固有ベクトルの計算

これまでの節で n × n 行列 A に付随するベクトル空間 V に対する標準基底の n 個の線型独立な広義固有ベクトルを得る方法を見た．これらの方法を結合して手順を得る：

固有値 λ_i と代数的重複度 μ_i に対する A の特性方程式を解く；

各 λ_i に対して：

n − μ_i を決定する；

m_i を決定する；

k = 1, ..., m_i に対して ρ_k を決定する；

λ_i に対して各ジョルダン鎖を決定する；

例 4

行列

$A={\begin{bmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{bmatrix}}$

の固有値は

$\det(\lambda I-A)=(\lambda -5)^{3}(\lambda -4)^{1}=0$

の解であり，これを解くと λ₁ = 5（代数的重複度 μ₁ = 3）および λ₂ = 4（代数的重複度 μ₂ = 1）が得られる．また，n = 4 である．λ₁ = 5 に対して n − μ₁ = 4 − 3 = 1 である．

$(A-5I)={\begin{bmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{bmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.$

$(A-5I)^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.$

$(A-5I)^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{bmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.$

$(A-5I)^{m_{1}}$ の階数が n − μ₁ = 1 になる最初の整数 m₁ は m₁ = 3 である．

次のように定義する：

${\begin{aligned}\rho _{3}&=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,\\\rho _{2}&=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,\\\rho _{1}&=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.\end{aligned}}$

したがって，3つの線型独立な広義固有ベクトルが存在する；階数 3, 2, 1 に1つずつである．λ₁ は3つの線型独立な広義固有ベクトルのただ1つの鎖に対応するので，λ₁ に対応する階数 3 の広義固有ベクトルであって

$(A-5I)^{3}{\boldsymbol {x}}_{3}={\boldsymbol {0}}$

(3)

$(A-5I)^{2}{\boldsymbol {x}}_{3}\neq {\boldsymbol {0}}$

(4)

なるものが存在することを知っている．方程式 (3) と (4) は x₃ について解くことができる線型方程式系を表す．

${\boldsymbol {x}}_{3}={\begin{bmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{bmatrix}}$

とする．すると

$(A-5I)^{3}{\boldsymbol {x}}_{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}$

および

$(A-5I)^{2}{\boldsymbol {x}}_{3}={\begin{bmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}$

である．したがって，条件 (3) と (4) を満たすためには，x₃₄ = 0 かつ x₃₃ ≠ 0 でなければならない．x₃₁ と x₃₂ には何の制約もない．x₃₁ = x₃₂ = x₃₄ = 0, x₃₃ = 1 と選ぶことで，λ₁ = 5 に対応する階数 3 の広義固有ベクトルとして

${\boldsymbol {x}}_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}$

を得る．x₃₁, x₃₂, x₃₃ で x₃₃ ≠ 0 なる異なる値を選ぶことによって階数 3 の他の広義固有ベクトルを無限個得ることができることに注意．しかしながら，我々の最初の選択が最も単純である．

さて方程式 (1) を用いて，x₂ と x₁ をそれぞれ階数 2 と 1 の広義固有ベクトルとして得る，ただし

${\boldsymbol {x}}_{2}=(A-5I){\boldsymbol {x}}_{3}={\begin{bmatrix}-2\\2\\0\\0\end{bmatrix}}$

および

${\boldsymbol {x}}_{1}=(A-5I){\boldsymbol {x}}_{2}={\begin{bmatrix}2\\0\\0\\0\end{bmatrix}}$

である．代数的重複度が 1 の固有値 λ₂ = 4 は標準的な手法で扱うことができ，通常の固有ベクトル

${\boldsymbol {y}}_{1}={\begin{bmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{bmatrix}}$

を持つ．A の標準基底は

$\left\{{\boldsymbol {x}}_{3},{\boldsymbol {x}}_{2},{\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {y}}_{1}\right\}=\left\{{\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2\\2\\0\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\0\\0\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{bmatrix}}\right\}$

である．x₁, x₂, x₃ は λ₁ に伴う広義固有ベクトルである．y₂ は λ₂ に伴う通常の固有ベクトルである．

これはかなり単純な例であることに注意すべきである．一般に，階数 k の線型独立な広義固有ベクトルの個数 ρ_k は必ずしも等しくない．つまり，特定の固有値に対応する異なる長さのいくつかの鎖があるかもしれない．