力積 数学的表現

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力積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/10 08:59 UTC 版)

数学的表現

力が一定と見なせる場合は力と作用時間の積が力積である。

力が変化する場合は、対象となる時刻区間について瞬時の力積を時間で積分して得られる。また、その時刻区間を経た物体の速度変化からも得られる。

質量m の質点を考えると、時刻$t_{\mathrm {A} }\to t_{\mathrm {B} }$を経たときのその質点に働く力と運動量の変化の関係は、

${\boldsymbol {I}}=m{\boldsymbol {v}}_{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {v}}_{\mathrm {A} }=\int _{t_{\mathrm {A} }}^{t_{\mathrm {B} }}{\boldsymbol {F}}dt$

である。ここで、I が力積、v_Aは時刻t_Aでの質点の速度、v_Bは時刻t_Bでの質点の速度、F は質点に働く時刻ごとの力である。速度v に対応する質点mの運動量はmvである。

上式は、運動方程式

$m{d{\boldsymbol {v}} \over {dt}}={d(m{\boldsymbol {v}}) \over {dt}}={\boldsymbol {F}}$

の左右両辺を時間($t_{\mathrm {A} }\to t_{\mathrm {B} }$)について定積分したものである。