余代数 余代数の概要

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余代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/24 02:14 UTC 版)

定義

$K$

が可換であるとき、組 $(C,\Delta ,\varepsilon )$

部分余代数

$(C,\Delta ,\varepsilon )$ を余代数、$D\subset C$ とする。$D$ が部分余代数であるとは、$\Delta (D)\subseteq D\otimes D$ を満たすことをいう。このとき、 $(D,\Delta |_{D},\varepsilon |_{D})$ は余代数の構造を持つ。

余イデアル

$I$ を余代数 $(C,\Delta ,\varepsilon )$ の部分ベクトル空間とする。$I$ が余イデアル（coideal）であるとは

$\Delta (I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,$

$\varepsilon (I)=0$

を満たすことをいう。このとき商 $C/I$ は余代数の構造を持つ。

余可換余代数と逆余代数

写像 $\mathrm {tw}$ を $\mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c$ で定める。余代数 $(C,\Delta ,\varepsilon )$ が余可換であるとは、 $\mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta$ が成り立つことをいう。ここで新しい余積を $\Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{(2)}\otimes c_{i}^{(1)}$ によって定めると、$(C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )$ は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと $\Delta =\Delta _{\mathrm {tw} }$ となることは同値である。

SweedlerのΣ-記法

$(C,\Delta ,\varepsilon )$ を余代数とする。$c\in C$ とすると、余積は

$\Delta (c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)$

と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを

$\Delta (c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}$

と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:

$\sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad$（余結合律）

$\sum \varepsilon \left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon \left(c_{(2)}\right)=c\quad$（余単位律）