ラマヌジャンの合同式 ラマヌジャンの合同式の概要

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ラマヌジャンの合同式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:03 UTC 版)

定理

4=4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1のように、正の整数 n をいくつかの正の整数の和として表すことを整数分割という。分割の仕方の総数を分割数といい、p(n) と表す。例えば、p(4)=5である。分割数 p(n) は n が5m+4, 7m+5, 11m+6 (m=0,1,2,..) であるとき、それぞれ、5, 7, 11で割り切れる。すなわち、

$p(5m+4)\equiv 0{\pmod {5}}$

$p(7m+5)\equiv 0{\pmod {7}}$

$p(11m+6)\equiv 0{\pmod {11}}$

が成り立つ。これらの関係式をラマヌジャンの合同式という。

イギリスの数学者で少佐でもあるパーシー・アレクサンダー・マクマホンは n=200 までの分割数 p(n) を計算し、その表を作成した。マクマホンの表からラマヌジャンはこれらの関係式が成り立っていることに気づき、1919年に1番目と2番目の関係式の証明を与えた。3番目の関係式については、ラマヌジャンの没後、1921年にハーディによってラマヌジャンの証明の論文が出版された

実際に p(5m+4), p(7m+5), p(11m+6)のいくつかを書き下すと次のようになる。

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5m+4	4	9	14	19	24	29	34	39	44	49	54
p(5m+4)	5	30	135	490	1575	4565	12310	31185	75175	173525	386155

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
7m+5	5	12	19	26	33	40	47	54	61	68	75
p(7m+5)	7	77	490	2436	10143	37338	124754	386155	1121505	3087735	8118264

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11m+6	6	17	28	39	50	61	72	83	94	105	116
p(11m+6)	11	297	3718	31185	204226	1121505	5392783	23338469	92669720	342325709	1188908248

ラマヌジャンの合同式はある素数 l とある整数 β について、

$p(lm+\beta )\equiv 0{\pmod {l}},\,m=0,1,2,\cdots$

の形をしている。ラマヌジャン自身はこうした合同式は稀であると考えていたが、スコット・アールグレンとマシュー・ボイランは、この関係式を満たす素数 lと整数 β (0 ≤ β ≤ l-1)の組が (l, β)=(5,4), (7, 5), (11, 6)、すなわち、ラマヌジャンの合同式の場合に限られることを示した。

拡張

1919年の論文でラマヌジャンは、さらに以下の関係式が成り立つことを予想した。

$p(5^{n}m+\lambda _{5,n})\equiv 0{\pmod {5^{n}}}$

$p(7^{n}m+\lambda _{7,n})\equiv 0{\pmod {7^{n}}}$

$p(11^{n}m+\lambda _{11,n})\equiv 0{\pmod {11^{n}}}$

但し、λ_p,nは

$24\lambda _{p,n}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$

を満たす正の整数である。これらの予想は、

$24\lambda \equiv 1{\pmod {5^{a}7^{b}11^{c}}}$

ならば、すべてのm=0,1,2,.. に対して

$p(5^{a}7^{b}11^{c}m+\lambda )\equiv 0{\pmod {5^{a}7^{b}11^{c}}}$

が成り立つ、とまとめることができる。この場合も、証明は5^a, 7^b, 11^cの場合をそれぞれ考えればよく、その他の場合は系として得られる。

ラマヌジャンは5²と7²の場合の証明のあらましを記している。しかしながら、1934年にサーバダマン・チョウラは7³での反例を見出した。

$24\cdot 243\equiv 1\quad ({\text{mod}}\,\,\,7^{3})$

であるが、

$p(243)=133978259344888$

は、7³では割り切れない。1938年にジョージ・ネヴィル・ワトソンは、 7^bの場合については7^[(b+2)/2]と補正すれば、正しいことを示した。 このとき、修正された予想は

$24\lambda \equiv 1{\pmod {5^{a}7^{b}11^{c}}}$

ならば、

$p(5^{a}7^{b}11^{c}m+\lambda )\equiv 0\quad ({\text{mod}}\,\,\,5^{a}7^{\beta }11^{c}),\,\beta ={\biggl [}{\frac {b+2}{2}}{\biggl ]}$

となる。ワトソンはこの修正された予想において、5^a, 7^bの場合の証明を与えた。さらに、1967年にオリバー・アトキンは11^cについて証明を与え、最終的にこの予想が正しいことが結論された。