ラマヌジャンの合同式 母関数による証明

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ラマヌジャンの合同式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:03 UTC 版)

母関数による証明

ラマヌジャンの合同式の証明の代表的な方法の一つは、母関数の議論に基づくものである。ラマヌジャン自身も1919年の論文で、5と7を法としたときの合同式の証明に母関数の方法を用いた。次の2つの式は、p(5n+4)と p(7n+5) の母関数の表示を直接与えている。

$\sum _{n=0}^{\infty }{p(5n+4)q^{n}}=5{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{5n})^{5}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{6}}}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{p(7n+5)q^{n}}=7{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{7n})^{3}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{4}}}}+49q{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{7n})^{7}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{8}}}}$

右辺を q のべき乗で展開したときに、qⁿの係数は1番目の式では p(5n+4) となるが、これは5で割り切れる。同様に、qⁿ の係数は2番目の式では p(7n+5) となるが、これは7で割り切れる。すなわち、p(5n+4) ≡ 0 (mod 5) と p(7n+5) ≡ 0 (mod 7) が成り立つ。なお、q-解析で使用されるq-ポッホハマー記号

$(a;q)_{n}={\begin{cases}(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})&(n>0)\\1&(n=0)\end{cases}}$

を用いれば、

$\sum _{n=0}^{\infty }{p(5n+4)q^{n}}=5{\frac {(q^{5};q^{5})_{\infty }^{5}}{(q;q)_{\infty }^{6}}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{p(7n+5)q^{n}}=7{\frac {(q^{7};q^{7})_{\infty }^{3}}{(q;q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7};q^{7})_{\infty }^{7}}{(q;q)_{\infty }^{8}}}$

と表すことができる。