ハートレー変換 性質

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ハートレー変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 10:05 UTC 版)

性質

ハートレー変換は実線形作用素であり、対称である（そしてエルミートである）。その対称性および自己反転性により、ハートレー変換はユニタリ作用素であることが分かる（実際、直交である）。

ハートレー変換について、重畳積分定理と類似な次のような議論がある。もし二つの関数 $x(t)$ および $y(t)$ にそれぞれハートレー変換 $X(\omega )$ および $Y(\omega )$ が存在するなら、それらの関数の畳み込み $z(t)=x*y$ にも同様にハートレー変換が存在し、次のように与えられる:

$Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\right]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\right]\right)/2$

フーリエ変換と同様に、偶関数あるいは奇関数のハートレー変換はそれぞれ偶関数あるいは奇関数となる。

余弦正弦（cas）

余弦正弦（cas）関数の性質は、三角法およびその位相変換三角関数 ${\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)$ としての定義により従う。例えば、

$2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(-b)\,$

および

${\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)\,$

などが得られ、微分は

${\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos(a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)$

となる。