ハートレー変換

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 10:05 UTC 版)

1983年、ロナルド・ブレイスウェル（英語版）によりこの変換の離散版である離散ハートレー変換（英語版）が考案された。

二次元のハートレー変換は、光学フーリエ変換（英語版）と同様なあるアナログ光学処理によって計算される。その利点として、複素フェーズよりも振幅と符号のみが必要とされる、ということが提唱されている^[1]。しかし、光学ハートレー変換は未だ広く利用されてはいないようである。

定義

実数値関数 f(t) のハートレー変換は

H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t

により定義される。ここで、応用の場面での $\omega$ の意味は角周波数であり、

{\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)\,

は「余弦正弦（cosine-and-sine）」あるいは「ハートレー核」と呼ばれるものである。工学において、この変換は信号（関数）を時間領域からハートレースペクトル領域（周波数領域）へと写す。

逆変換

ハートレー変換は、それ自身が逆変換（対合）であるという便利な性質を持つ。すなわち

f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}

が成立する。

慣例

上述の定義はハートレーによる元々の定義と一致するものである。しかし、様々な些細な点が慣例上の問題となっており、それらは本質的な性質を脅かすことなく変更することも出来る:

元の変換と逆変換を等しいものとする代わりに、元の変換から係数 ${1}/{\sqrt {2\pi }}$ を除き、その代わりに逆変換に係数 ${1}/{2\pi }$ を付けることも出来る。あるいは、実際、積が ${1}/{2\pi }$ となるような組み合わせならどのような係数を用いて正規化してもよい（上の例のような非対称的な正規化は、純粋数学および工学のいずれの分野においても用いられる）。
$\omega t$ の代わりに $2\pi \nu t$ を用いることも出来る（すなわち、角周波数ではなく周波数を用いることも出来る）。そのような場合、係数 ${1}/{\sqrt {2\pi }}$ は完全に取り除かれる。
積分核として、cos+sin の代わりに cos−sin を用いることも出来る。

フーリエ変換との関係

この変換は、積分核の選び方において従来のフーリエ変換 $F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )$ とは異なるものである。フーリエ変換においては、指数関数核: $\exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t)$ が用いられていた。ここで i は虚数単位である。