ド・モルガンの法則 命題論理における法則

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ド・モルガンの法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/28 05:42 UTC 版)

命題論理における法則

任意の命題 $P,Q\in \{\bot ,\top \}$ に対して

$\neg (P\lor Q)=\neg P\land \neg Q\,,$

$\neg (P\land Q)=\neg P\lor \neg Q$

が成り立つ。これをド・モルガンの法則という。

より一般的な法則として、任意の n 個の命題 $P_{1},P_{2},\cdots ,P_{n}\in \{\bot ,\top \}$ に対して

$\neg \left(\bigvee _{i=1}^{n}P_{i}\right)=\bigwedge _{i=1}^{n}\neg P_{i}\,,\quad \neg \left(\bigwedge _{i=1}^{n}P_{i}\right)=\bigvee _{i=1}^{n}\neg P_{i}$

が成り立つ。

例

次の命題

「私の身長は160cm以上であり、かつ私の体重は50kg以上である」

の否定、すなわち

「「私の身長は160cm以上であり、かつ私の体重は50kg以上である」ではない」

は、ド・モルガンの法則によれば、次の命題と等しい。

「私の身長は160cm未満である、または私の体重は50kg未満である」

同じようにして

「このボールは青いか、または赤い」

の否定は

「このボールは青くなく、かつ赤くない」

になる。