ダルブー導関数 微分積分学の基本定理

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ダルブー導関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/17 01:49 UTC 版)

微分積分学の基本定理

本節の目標はωをダルブー導関数に持つ関数が存在する条件を記述する事である。

そのための準備として、まず「発展」という概念と「モノドロミー」という概念を定義する。

発展

fの定義域が区間$I=[a,b]$の場合は、「微分積分学の基本定理」が成り立つ：

定理 ― ωを区間$I=[a,b]$上の${\mathfrak {g}}$-値1-形式とし、gをGの元とする。このとき、関数$f~:~I\to G$で

$\omega _{f}=\omega$、$f(a)=g$

を満たすものが一意に存在する。

上記の定理を多様体M上の曲線に対して用いる事で以下の定義が得られる：

定理・定義 (曲線の発展) ― ωを多様体M上の${\mathfrak {g}}$-値1-形式とし、$c~:~[a,b]\to M$をM上の曲線とし、gをGの元とし、$c^{*}(\omega )$をωのcによる$[a,b]$への引き戻しとする。このとき、${\tilde {c}}~:~I\to G$で

$\omega _{\tilde {c}}=c^{*}(\omega )$、${\tilde {c}}(a)=g$

を満たすものが存在する。 ${\tilde {c}}$をgからのcに沿ったωの発展（英: development of ω along c starting at g）という。

モノドロミー

ωが構造方程式を満たせば、発展の終点はホモトピー不変である：

定理 ― ωを多様体M上の${\mathfrak {g}}$-値1-形式で

$d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=0$

を満たすものとする。さらに$c_{0},c_{1}~:~[a,b]\to M$をM上の2つの曲線でc₀の始点、終点がそれぞれc₁の始点、終点に一致するものとし、さらにgを元Gの元とする。

このとき、c₀とc₁が（始点と終点を固定した）ホモトープであれば、c₀のgからの発展${\tilde {c}}_{0}~:~I\to G$の終点とc₁のgからの発展${\tilde {c}}_{1}~:~I\to G$の終点は等しい。

よってMの点P₀におけるMの基本群$\pi _{1}(M,P_{0})$を考えると、$[c]\in \pi _{1}(M,P_{0})$にcの発展${\tilde {c}}$の終点$\in G$を対応させる写像は代表元cの取り方によらずwell-definedである。

定理・定義 (モノドロミー) ― 記号を上述のように取るとき、写像

$\Phi _{\omega }~:~[c]\in \pi _{1}(M,P_{0})\mapsto ($単位元eからの$c$の発展${\tilde {c}}$の終点)$\in G$

は準同型になる。$\Phi _{\omega }$をωのモノドロミー表現（英: monodromy representation）といい、Gの部分群$\Phi _{\omega }(\pi _{1}(M,P_{0}))\subset G$をモノドロミー群（英: monodromy group）もしくは周期群（英: period group）という。

定理の記述

モノドロミーを用いると、ωをダルブー導関数に持つ関数が存在する必要十分条件を特徴づける事ができる：

定理 (微分積分学の基本定理（英: Fundamental theorem of calculus）) ― Gをリー群とし、${\mathfrak {g}}$をGのリー代数とし、Mを多様体とし、ωをM上の${\mathfrak {g}}$-値1-形式とする。このとき、ダルブー導関数$\omega _{f}$がωと一致する関数$f~:~M\to G$が存在する必要十分条件は、以下の２条件が成立する事である：

• $d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=0$
• モノドロミー群$\Phi _{\omega }(\pi _{1}(M,P_{0}))\subset G$は単位元のみからなる群$\{e\}$である。

定理 (解の実質的な一意性) ― 記号を上の定理と同様に取る。このとき、ダルブー導関数$\omega _{f}$がωと一致する関数2つが存在すれば、それらの関数f₁、f₂は、ある$g\in G$が存在して

$\forall P\in M~:~f_{1}(P)=gf_{2}(P)$

を満たす。