ダルブー導関数 定義

ウィキペディア

ダルブー導関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/17 01:49 UTC 版)

定義

本節ではダルブー導関数を具体的に定式化する。

すでに述べたように$f~:~M\to G$のダルブー導関数とは、$f_{*}~:~TM\to TG$の像を群の元をかけることで${\mathfrak {g}}=T_{e}G$まで移動したものである。具体的には$P\in M$、$v_{P}\in T_{P}M$に対し、$f_{*}(v_{P})$は$T_{f(P)}G$の元なので、$f(P)^{-1}$を左からかける演算$L_{f(P)^{-1}}$の導関数$L_{f(P)^{-1}}{}_{*}$を作用させた

$\omega _{f}|_{P}:=L_{f(P)^{-1}}{}_{*}(f_{*}(v_{P}))$

がfのダルブー導関数である。この事実とモーレー・カルタン形式の定義を照らし合わせる事で、ダルブー導関数を以下のように定式化できる事がわかる：

定義 (ダルブー導関数) ―  $f~:~M\to G$の（左）ダルブー導関数（英: (left) Darboux derivative）とはM上の${\mathfrak {g}}$-値1-形式

$\omega _{f}:=f^{*}(\omega ^{G})$

の事である。

モーレー・カルタン形式が構造方程式を満たすことから、以下が成立する事がわかる：

定理 ― ダルブー導関数は以下を満たす：

$d\omega _{f}+{1 \over 2}[\omega _{f},\omega _{f}]=0$