ウラムの螺旋
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/02/03 13:31 UTC 版)
亜種
クローバーの三角形
クローバーが1932年の論文で言及したのは三角形状で、n行目が(n − 1)2 + 1からn2までの数字で構成されている。ウラムの螺旋と同じように、二次多項式によって生成される数は直線をなす。垂線上の数字はk2 − k + Mの形で書くことができる。素数の密度が高い垂線や斜線は図から明らかである。
正三角ウラムの螺旋
正三角形上に自然数を並べたもの。
六角ウラムの螺旋
正六角形上に自然数を並べたもの。
サックスの螺旋
ロバート・サックスは1994年にウラムの螺旋の亜種を考案した。ウラムの螺旋が四角の螺旋状だったのに対して、サックスの螺旋はアルキメデスの螺旋状に非負の整数を並べ、1周ごとに平方数が来るようにする（ウラムの螺旋では1周につき2つの平方数が含まれる）。オイラーの素数生成多項式x2 − x + 41はxの値が0, 1, 2, ...と動くとき、1本のカーブとして現れる。曲線は図の左半分側にて、漸近的に水平線に近づいていく（ウラムの螺旋では、オイラーの素数生成多項式による数字は2本の斜線を形作る。上半分はxが偶数の場合、下半分はxが奇数の場合に相当する）。
約数の数を表すウラムの螺旋
ウラムの螺旋に合成数を加えるとさらなる構造が見えてくる。1は自分自身しか約数を持たない。全ての素数は自分自身と1しか約数を持たない。合成数は少なくとも3つの約数を持つ。点の大きさを対応する数字の約数の数で表現し、素数を赤、合成数を青とすると、このような図が現れる。
上記の六角ウラムの螺旋も、影の濃さで約数の数が表現されている。
- ^ a b c Gardner 1964, p. 122.
- ^ Stein, Ulam & Wells 1964, p. 520.
- ^ Hoffman 1988, p. 41.
- ^ Gardner 1971, p. 88.
- ^ Guide to the Martin Gardner papers, The Online Archive of California, (2009), p. 155.
- ^ Jacobson Jr., M. J.; Williams, H. C (2003), “New quadratic polynomials with high densities of prime values”, Mathematics of Computation 72 (241): 499–519, doi:10.1090/S0025-5718-02-01418-7
- ^ Guy, Richard K. (2004), Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer, p. 8, ISBN 978-0-387-20860-2
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