同値律とは？わかりやすく解説

数学において、同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）とは二項関係であって反射的、対称的、推移的の3つの性質を満たすものをいう。そのことから、与えられた集合上の1つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）することが導かれる。

同値関係にあることを表すのに用いられる記法は文献によってさまざまであるが、与えられた集合上の同値関係 $R$ に関して2つの元 $a, b$ が同値であることを " $a ~ b$ " や " $a \equiv b$ " で表すことが最もよく用いられる。 $R$ に関して同値であることを明示する場合には、" $a ~ R b$ " や " $a \equiv R b$ " あるいは " $a R b$ " などと書かれる。

定義

ある集合 $S$

集合 $S$ 上に同値関係 $\sim$ が与えられたとする。 $R = {(x, y) \in S \times S | x \sim y}$ とおき、写像 $r 1, r 2 : R \to S$ を $r 1 (x, y) = x$ , $r 2 (x, y) = y$ で定義すると、商集合 $S /\sim$ と標準射影 $π : S \to S /\sim$ の組は集合の圏における $r 1$ と $r 2$ の余等化子である。

出典

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^ ^a ^b 松坂 1968, p. 54.
^ ^a ^b ^c 松坂 1968, p. 57.
^ 松坂 1968, p. 56.
^ Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane, 1999 (1967). Algebra, 3rd ed. p.35, Th.19. Chelsea.
^ Wallace, D. A. R., 1998. Groups, Rings and Fields. p. 31, Th. 8. Springer-Verlag.
^ Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed. p. 3, Prop. 2. John Wiley & Sons.
^ Karel Hrbacek & Thomas Jech (1999) Introduction to Set Theory, 3rd edition, pages 29–32, Marcel Dekker
^ 松坂 1968, p. 55.
^ ProofWiki: Trivial_Relation, Trivial_Relation_is_Equivalence
^ Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory, Colloquium Publications, 25 (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821810255 . Sect. IV.9, Theorem 12, page 95
^ Awodey, Steve (2006). Category theory. Oxford University Press. ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001. "Definition 3.18"

参考文献

松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。

外部リンク

『同値関係といろいろな例』 - 高校数学の美しい物語
"Equivalence relation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Equivalence Relation". mathworld.wolfram.com (英語).
equivalence relation - PlanetMath.（英語）

[FOOTNOTE松坂196854-1] 松坂 1968, p. 54.

[FOOTNOTE松坂196857-2] 松坂 1968, p. 57.

[FOOTNOTE松坂196856-3] 松坂 1968, p. 56.

[4] Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane, 1999 (1967). Algebra, 3rd ed. p.35, Th.19. Chelsea.

[5] Wallace, D. A. R., 1998. Groups, Rings and Fields. p. 31, Th. 8. Springer-Verlag.

[6] Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed. p. 3, Prop. 2. John Wiley & Sons.

[7] Karel Hrbacek & Thomas Jech (1999) Introduction to Set Theory, 3rd edition, pages 29–32, Marcel Dekker

[FOOTNOTE松坂196855-8] 松坂 1968, p. 55.

[9] ProofWiki: Trivial_Relation, Trivial_Relation_is_Equivalence

[10] Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory, Colloquium Publications, 25 (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821810255 . Sect. IV.9, Theorem 12, page 95

[11] Awodey, Steve (2006). Category theory. Oxford University Press. ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001. "Definition 3.18"

同値律とは？わかりやすく解説

どうち‐りつ【同値律】

同値関係

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参考文献

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