モニック射とは？わかりやすく解説

圏論においてモニック射（英: monic morphism）、モノ射（monomorphism）あるいは単射^[1]とは、左簡約可能（left cancelable）な射を言う。 $X$ から $Y$ へのモニック射は $X ↪ Y$ と表記される。

これは集合間の写像の意味での単射の抽象化であり、射が写像であり集合論的な意味での単射であれば圏論的な意味でのモニック射であるが、逆は必ずしも成り立たない。しかしながら、集合の圏や群の圏、環上の加群の圏、位相空間の圏などでは、モニック射は集合論の意味での単射である^[2]。

モニック射の圏論的双対はエピ射であり、圏 C のモニック射は逆圏 C^op のエピ射に対応する。すべてのセクション（section）はモニック射であり、すべての制限射（retraction）はエピ射である。

定義

圏論において射 $f : X \to Y$ がモニックであるとは、すべての対象 $Z$ と任意の射 $g 1, g 2 : Z \to X$ に対して、

f\circ g_{1}=f\circ g_{2}