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Sumset

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/08 06:13 UTC 版)

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集合の合併については「和集合」をご覧ください。

加法的組合せ論（英語版）において、加法群 $G$ の 2つの部分集合 $A$ と $B$ の和（わ、英: sum）とは、 $A$ と $B$ の元ごとの和全体の成す集合

A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}

を言う。同じものを、アフィン幾何学（英語版）周辺分野ではミンコフスキー和（英語版） (Minkowski sum) とも呼ぶ。例えば線型代数学において、二つの線型部分空間 $U, V$ の和空間（英語版）(sum space) $U + V$ はこの意味の和集合として定義される。

$A$ の $n$ -重反復和集合 ( $n$ -fold iterated sumset)（ $n$ -倍集合）とは

nA=\underbrace {A+\dotsb +A} _{n}

のこととする（ここで、 $n$ は右辺の項数である）。

加法的組合せ論や加法的数論（英語版）の多くの問題や結果を、この和集合を用いて言い表すことができる。例えば、ラグランジュの四平方定理は次の形で表すことができる。

4\Box =\mathbb {N} .

ここに、 $\Box$ は平方数全体の成すの集合、 $N$ は自然数全体の成す集合である。多くの研究がなされる主題として、"small doubling"（小さい倍化）を持つ集合（すなわち、2-倍集合 $A + A$ の大きさが（ $A$ に比べて）小さくなるような集合 $A$ ）の問題がある。フレイマンの定理（英語版）(Freiman's theorem)の例を参照。

参考文献

Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
Nathanson, Melvyn B. (1990). “Best possible results on the density of sumsets”. In Berndt, Bruce C.; Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini et al.. Analytic number theory. Proceedings of a conference in honor of Paul T. Bateman, held on April 25-27, 1989, at the University of Illinois, Urbana, IL (USA). Progress in Mathematics. 85. Boston: Birkhäuser. pp. 395–403. ISBN 0-8176-3481-9. Zbl 0722.11007.
Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. 165. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003.
Terence Tao and Van Vu, Additive Combinatorics, Cambridge University Press 2006.