中点法

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中点法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/07 03:04 UTC 版)

$y_{n}$

微分方程式 $y'=y,y(0)=1$

同じく、$h=0.25$ の場合。中点法のほうがオイラー法より収束が速いことが見てとれる。

中点法はオイラー法

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})$

を改良したものであり、手順も類似している。 オイラー法を導く鍵は近似式

$y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t))\qquad \qquad (2)$

であり、これは傾きの公式

$y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\qquad \qquad (3)$

と $y'=f(t,y)$ に注意することで得られる。

中点法の場合、(3) をより正確な

$y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}$

で置き換える。すると (2) は次の式に変わる。

$y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\right)\qquad \qquad (4)$

この式を使って $y(t+h)$ を求めることはできない。なぜなら $y$ の $t+h/2$ での値が分からないからである。そのため、ちょうどオイラー法で $y(t+h/2)$ を求めるのと同じように、テイラー展開を使って

$y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))$

と近似する。これを (4) に代入すると

$y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)$

のように陽的中点法 (1e) の公式が得られる。

陰的中点法 (1i) は、ステップの中間点 $t+h/2$ での値を $y(t)$ と $y(t+h)$ とを結ぶ線分の中点

$y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}$

で近似し、

${\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)$

とすることで得られる。$y_{n}+h\,k$ で $y(t_{n}+h)$ を近似すると陰的ルンゲ＝クッタ法

${\begin{aligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aligned}}$

が得られるが、前半部分はステップ幅を $h/2$ とした後退オイラー法を含んでいる。

陰的中点法では時間についての対称性から $h$ の偶数乗の局所誤差項は全てキャンセルし、誤差は自動的に $O\left(h^{3}\right)$ となる。$k$ の決定を後退オイラー法ではなく（前進）オイラー法で行うと、再び陽的中点法が得られる。

関連項目

• 区分求積法
• ホイン法
• リープ・フロッグ法
• ベレの方法

参考文献

• Griffiths,D. V.; Smith, I. M. (1991). Numerical methods for engineers: a programming approach. Boca Raton: CRC Press. p. 218. ISBN 0-8493-8610-1. 
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-00794-1 .