岩澤群

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岩澤群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 06:23 UTC 版)

数学における岩澤群（いわさわぐん、英: Iwasawa group、岩澤健吉に由来）、M群 (英: M-group)、モジュラー群 (英: modular group) とは、その部分群の束がモジュラーであるような群のことである。

また、ある群 G が岩澤群であるとは、G の各部分群が G 内準正規ということであるとも言える(Ballester-Bolinches et al. 2010, pp. 24–25)。

Iwasawa (1941) は、p-群 G が岩澤群であることは、以下のどちらかが起こることと同値であることを示した。

• G はデデキント群。
• G はアーベルな正規部分群 N を持ち、商群 G/N は巡回群である。かつ、G/N の生成元を q とすると、任意の n ∈ N に対し、q⁻¹nq = n^1+ps なる s が存在する。一般的には s ≥ 1だが、p = 2 の場合は s ≥ 2 となる。

Berkovich & Janko (2008, p. 257)によると、岩澤の証明には重要な欠陥があると思われ、これはフランコ・ナポリターニとズヴォニミル・ヤンコによって修正された。 Roland Schmidt (1994) は彼の教科書で、異なる方針による別証明を与えている。 その証明の中で、有限 p-群が岩澤群であることと、そのすべての部分群が準正規であることが同値だと示されている (Schmidt 1994, p. 55, Lemma 2.3.2)。

有限 p-群の各部分群は亜正規で、亜正規性と準正規性が一致している有限群のことをPT-群という。 したがって、有限 p-群が岩澤群であることとPT-群であることは同値である。

参考文献

• Iwasawa, Kenkichi (1941), “Über die endlichen Gruppen und die Verbände ihrer Untergruppen”, J. Fac. Sci. Imp. Univ. Tokyo. Sect. I. 4: 171–199, MR0005721 
• Iwasawa, Kenkichi (1943), “On the structure of infinite M-groups”, Japanese Journal of Mathematics 18: 709–728, MR0015118 
• Schmidt, Roland (1994), Subgroup Lattices of Groups, Expositions in Math, 14, Walter de Gruyter, doi:10.1515/9783110868647, ISBN 978-3-11-011213-9, MR1292462 
• Zimmermann, Irene (1989), “Submodular subgroups in finite groups”, Mathematische Zeitschrift 202 (4): 545–557, doi:10.1007/BF01221589, MR1022820 
• Ballester-Bolinches, Adolfo; Esteban-Romero, Ramon; Asaad, Mohamed (2010), Products of Finite Groups, Walter de Gruyter, pp. 24–25, ISBN 978-3-11-022061-2 
• Berkovich, Yakov; Janko, Zvonimir (2008), Groups of Prime Power Order, 2, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-020823-8