カラツバ法

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カラツバ法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/26 07:15 UTC 版)

カラツバ法（カラツバほう）とは、主に多倍長乗算の乗算アルゴリズム（英語版）において、乗算の回数を4分の3にするアルゴリズムである。 加減算の回数は増加するが、乗算コストはそれより遥かに大きいため、結果として演算コストそのものもほぼ4分の3となる。 発見者のAnatolii Alexeevitch Karatsuba（Карацуба Анатолий Алексеевич）の名前を取ってKaratsuba法(Karatsuba-algorithm)、あるいは単にKaratsubaとも呼ばれる。

従来の乗算は${\displaystyle O(n^{2})}$だったが、Karatsuba法の再帰的適用により、${\displaystyle O(n^{\log _{2}3})}$（${\displaystyle \log _{2}3}$≒1.585）まで計算コストが抑えられる。

アルゴリズム

単純な例として、被乗数${\displaystyle X}$と乗数${\displaystyle Y}$の積${\displaystyle Z}$を求める(${\displaystyle Z=X\times Y}$)。 まず、被乗数${\displaystyle X}$と乗数${\displaystyle Y}$をそれぞれ上位・下位の2つに分割する。 分割の基数を${\displaystyle b}$（例えば3桁ずつに分割するなら${\displaystyle b:=1000}$）とすると、

${\displaystyle X:=x_{1}\cdot b+x_{0}}$

${\displaystyle Y:=y_{1}\cdot b+y_{0}}$

${\displaystyle Z:=z_{2}\cdot b^{2}+z_{1}\cdot b+z_{0}}$

この乗算をKaratsuba以前の方法（Long multiplication）で行うと、乗算を4回行うことになる。

${\displaystyle z_{2}:=x_{1}\times y_{1}}$

${\displaystyle z_{0}:=x_{0}\times y_{0}}$

${\displaystyle z_{1}:=x_{1}\times y_{0}+x_{0}\times y_{1}}$

Karatsubaの方法では、乗算を3回で済ませられる。

${\displaystyle z_{1}:=z_{2}+z_{0}-(x_{1}-x_{0})\times (y_{1}-y_{0})}$

計算例

${\displaystyle X=32,463}$ ${\displaystyle (x_{1}:=32,x_{0}:=463)}$、 ${\displaystyle Y=38,030}$ ${\displaystyle (y_{1}:=38,y_{0}:=30)}$、${\displaystyle b=1000}$ とすると、

${\displaystyle z_{2}:=x_{1}y_{1}=1216}$

${\displaystyle z_{0}:=x_{0}y_{0}=13890}$

${\displaystyle z_{1}:=z_{2}+z_{0}-(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})=1216+13890-(-431)(8)=18554}$

${\displaystyle Z=1216b^{2}+18554b+13890=1,216,000,000+18,554,000+13,890=1,234,567,890}$

関連項目

• カラツバ法（1960年）
• en:Toom–Cook multiplication（1963年。カラツバ法はToom-2の特別な場合である）
• ショーンハーゲ・ストラッセン法（1971年。高速フーリエ変換/離散フーリエ変換を使う方法で、カラツバ法やToom-3より高速なアルゴリズムである）
• en:Fürer's algorithm（2007年。Schönhage–Strassenより高速）