Cramér–Raoの不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 08:52 UTC 版)
「フィッシャー情報量」の記事における「Cramér–Raoの不等式」の解説
θ {\displaystyle \theta } の任意の不偏推定量 θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} は以下のCramér–Rao(クラメール-ラオ)の不等式を満たす： v a r ( θ ^ ) ≥ 1 I ( θ ) {\displaystyle \mathrm {var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{{\mathcal {I}}(\theta )}}\,} この不等式の直観的意味を説明する為、両辺の逆数を取った上で確率変数 X {\displaystyle X} への依存関係を明示すると、 I X ( θ ) ≥ 1 v a r ( θ ^ ( X ) ) {\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}(\theta )\geq {\frac {1}{\mathrm {var} ({\hat {\theta }}(X))}}\,} となる。一般に推定量はその分散が小さいほど(よって分散の逆数が大きいほど)母数 θ {\displaystyle \theta } に近い値を出しやすいので、「よい」推定量であると言える。 θ {\displaystyle \theta } を「推定する」という行為は、「よい」推定量 θ ^ ( X ) {\displaystyle {\hat {\theta }}(X)} を使って θ {\displaystyle \theta } を可能な限り復元する行為に他ならないが、上の不等式は X {\displaystyle X} から算出されたどんな不偏推定量であっても X {\displaystyle X} が元々持っている「情報」以上に「よい」推定量にはなりえない事を意味する。
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