Conformal field theory

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共形場理論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/28 09:04 UTC 版)

共形場理論（きょうけいばりろん、Conformal Field Theory, CFT）とは、共形変換に対して作用が不変な場の理論である。特に、1+1次元系では複素平面をはじめとするリーマン面上での理論として記述される。

共形変換に対する不変性はウォード＝高橋恒等式を要請し、これをもとにエネルギー-運動量テンソル（あるいはストレステンソル）に関する保存量が導出される。また1+1次元系においては、エネルギー-運動量テンソルを展開したものは、Virasoro代数と呼ばれる無限次元リー代数をなし、理論の中心的役割を果たす。

共形変換群は、時空間の対称性であるポアンカレ群の自然な拡張になっており、空間d-1次元＋時間1次元のd次元時空間ではリー群SO(d,2)で記述される。この変換群の生成子は(d+2)(d+1)/2個あり、その内訳は以下のとおり。

• d(d-1)/2:　空間 d-1 + 時間 1次元空間のローレンツ変換
• d: d次元空間の並進+時間推進

※以上が、部分群としてのポアンカレ群の生成子をなす。 スケール普遍性は定義より以下の変換(ディラテーション)を示唆する。

• 1: スケール変換（計量の目盛りの変更）

さらに強く、共形不変性を要求すると

• d: d次元時空の特殊共形変換（反転×平行移動×反転）

が加わる。この代数SO(d,2)を共形代数(conformal algebra)と呼ぶ。

場の理論の基本的な可観測量である相関関数(場の演算子の積の真空期待値)は共形代数によって強い制限を受ける。特にユニタリな共形場の理論においては、例えばスカラー演算子の二点関数は ${\displaystyle \langle \phi (x)\phi (y)\rangle ={\frac {1}{|x-y|^{\Delta _{\phi }}}}}$

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