ブロッホ群
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数学において、ブロッホ群（英: Bloch group）はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体のコホモロジー群として定義される。複体の名前はスペンサー・ブロッホ (Spencer Bloch) とアンドレイ・ススリン (Андре́й Су́слин) に因む。ブロッホ群は以下に述べるように多重対数関数、双曲幾何学、代数的K理論などと密接に関係している。
ブロッホ・ウィグナーの関数
二重対数関数は |z| < 1 に対して次の冪級数で定義される。
この冪級数から二重対数関数の積分表示
が得られる。ただし二重対数関数は2点 0, 1 で分岐しモノドロミー（多価性）を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から z への積分路は 
の非自明なサイクルを含まないようなものをとる必要がある。（一見すると z = 0 に分岐はないように見えるが、実は z = 1 を周回したシート上に z = 0 の分岐が現れる。）この積分表示によって Li2(z) は の普遍被覆空間に正則に解析接続される。
ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。
D2(z) には次のような著しい性質がある。
- D2(z) はモノドロミーを持たず
上の一価実解析的関数になる。 
最後の恒等式は本質的に二重対数関数に対するアーベルの5項関係式である (Abel 1881)。
ブロッホ群の定義
K を体とし、
を 
の元 x に対する [x] により Z 上生成された自由加群とする。また 
を
の形の元の生成する Z(K) の部分加群とし、
と定めよう。いまブロッホ・ウィグナーの関数の定義域を Z(C) に線形に拡張し、x = Σnj[xj] ∈ Z(C) に対して D2(x) = ΣnjD2(xj) と定める。すると D2 の 5項関係式は
と言い換えられ、従って D2 は 
上定義される。さて、
を、
に対しては d[x] = x∧(1−x) と定め、これを Z(K) に線形に拡張したものとする。（d が 
上 well-defined であることをみるには 
をチェックする必要がある。）このときブロッホ群 
を
と定義する (Bloch 1978)。松本の定理により 
を 2次の代数的K群として 
が知られている。
は D2 の線形関係式を完全に記述する群である。すなわち次が成り立つ。
K3 とブロッホ群の関係
K を無限体とする。このとき 
は x の取り方に依らない。GM(K) を無限次単項行列のなす GL(K) の部分群、BGM(K)+ をキレンのプラス構成とすると、
が成り立つ (Suslin 1990)。ここで 
は 3次の代数的K群である。 さらに、ミルナーのK群を 
として、
を 
のただ一つの非自明な Z/2Z 拡大とする。このとき以下の完全列が知られている。
3次元双曲幾何学との関係
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ブロッホ・ウィグナー関数 
は 
上の関数であり、次のような双曲幾何学的な意味を持つ。
を実3次元の双曲空間とし、
と半空間表示する。 の無限遠点の全体 
は 
とみなすことができる。無限遠点のみを頂点とする四面体を理想的四面体と呼び、
を無限遠点上の頂点として 
で表す。四面体の(符号付き)体積を 
と表す。このとき、計量の定数倍を適切にとれば、四面体の複比は、
であり、特に 
である。 の5項関係式は、退化した理想的 4単体 
の境界の体積が 0 であることと
とは同値である。
加えて、3次元双曲多様体 
が与えられると、
と分解する。ここに 
は、理想四面体であり、それらの頂点はすべて 
上の無限遠点にある。ここに 
は 
となるある複素数である。各々の理想四面体は、
となる複素数 
（四面体の頂点の複比となるが、）に対し 
を頂点とする理想四面体のひとつにアイソメトリック(isometric)である。このように、四面体の体積は一つのパラメータ にのみ依存する。(Neumann & Zagier 1985) は、理想四面体 
に対し 
ただし はブロッホ・ウィグナーの二重対数、となることを示した。一般の 3次元双曲多様体に対し、理想四面体を互いに張り合わせることにより、
を得る。モストウの剛性定理は、
であるすべての 
に対する四面体の体積の値が一意に定まることを保証している。
一般化
二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は (Goncharov 1991) と (Zagier 1990) により拡張された。これらの一般化ブロッホ群 
が、代数的K理論やモチヴィックコホモロジーと関係するということが、広く予想されている。また、(Neumann 2004)により定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。
参考文献
- Abel, N.H. (1881) [1826]. “Note sur la fonction
”. In Sylow, L.; Lie, S. (French). Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II. Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn. pp. 189–193. (this 1826 manuscript was only published posthumously.)
- Bloch, S. (1978). “Applications of the dilogarithm function in algebraic K-theory and algebraic geometry”. In Nagata, M. Proc. Int. Symp. on Alg. Geometry. Tokyo: Kinokuniya. pp. 103–114.
- Goncharov, A.B. (1991). “The classical trilogarithm, algebraic K-theory of fields, and Dedekind zeta-functions”. Bull. AMS. pp. 155–162.
- Neumann, W.D. (2004). “Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class”. Geometry and Topology. pp. 413–474.
- Neumann, W.D.; Zagier, D. (2004). "Volumes of hyperbolic three-manifolds". Topology 24: 307–332.
- Suslin, A.A. (1990). “
of a field, and the Bloch group” (Russian). Trudy Mat. Inst. Steklov. pp. 180–199.
- Zagier, D. (1990). “Polylogarithms, Dedekind zeta functions, and the algebraic K-theory of fields”. In van der Geer, G.; Oort, F.; Steenbrink, J. Arithmetic Algebraic Geometry. Boston: Birkhäuser. pp. 391–430.
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