A∞-オペラドとは? わかりやすく解説

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A∞-オペラド

(A∞-operad から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/19 15:01 UTC 版)

代数学代数的トポロジー、あるいはオペラド理論において、A∞-オペラドとは、積写像のパラメータ空間で、連接ホモトピーの類似概念である。

定義

位相空間上の対称群の作用によって構成されるオペラドAはA∞と呼ばれ、その'A(N)'の全体がなす空間はΣn-オペラド空間(ΣN対称群であり、乗算作用(N∈N)を有する)となる。その空間'A(N)'が可縮である場合は、非Σオペラドが構成され(非対称オペラドと呼ばれる)、オペラドAはA∞となる。位相空間以外のでは、可縮を鎖複体の圏と擬同型なものに置き換える必要がある。

An-オペラド

用語の文字Aは「連想」を表し、無限大記号は、「任意」よりも高いホモトピーまで連想性が必要であることを意味する。より一般に、 An- オペラドn ∈ N )が定義でき、これは特定のレベルのホモトピーまでしか結合しないパラメータ乗算を持つ。

A∞-オペラドと単ループ空間

空間Xを体上の多元環とすると、 BXはループ空間となる。 の連結成分のπはモノイド基底となる。体上の多元環である場合、 -オペラドは -空間になる。ループ空間において、この特性による3つの結果がある。まず、ループ空間は -空間になる。第二に、接続された-空間Xがループ空間になる。第三に、切断可能で群完備な -空間はループ空間となる。

ホモトピー理論における-オペラドの重要性は、-オペラドとループ空間上の代数関係に由来する。

A∞-代数

-オペラド上の多元環は-代数と呼ばれる。例えば、シンプレクティック多様体の深谷圏がある(擬正則曲線も参照)。

有用ではないが最も自明な -オペラドの例は式で与えれる。 。このオペラドは、結合法則の積を表している。定義上、この-オペラドはホモトピー同値な写像を持っている。

スタシェフによるポリトープで与えられる -オペラドとしてアソシアヘドラがある 。

組み合わせ論の例として、微小階差オペラドがある:空間は単位区間から、n個の互いに素な区間への埋め込み全体で構成される。

関連項目

  • ホモトピー結合多元環
  • オペラド
  • E-無限オペラド
  • ループ空間



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