自由代数

ウィキペディア

自由代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/30 02:43 UTC 版)

この項目では、環論における自由代数について説明しています。普遍代数学におけるより一般の自由な代数系については「自由対象（英語版）」をご覧ください。

数学、とくに環論という抽象代数学の分野において、自由代数（じゆうだいすう、英: free algebra）は多項式環の非可換類似である、なぜならばその元は可換でない変数の「多項式」として書けるからである。同様に、多項式環は自由可換代数 (free commutative algebra) と見ることができる（多項式環#多項式環の普遍性参照）。

定義

可換環 R に対し、n 不定元 {X₁, ..., X_n} 上の自由（結合的単位的）代数とは、アルファベット {X₁, ..., X_n} 上のすべての語（空な語を含み、これは自由代数の単位元である）からなる基底を持つ自由 R 加群である。この R 加群は積を以下のように定義して R 代数となる：2つの基底元の積は対応する語の結合

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{n}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{n}},}$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年12月）

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007 
• L.A. Bokut' (2001), “Free associative algebra”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Free_associative_algebra