片側リプシッツ連続
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/09 22:38 UTC 版)
「リプシッツ連続」の記事における「片側リプシッツ連続」の解説
F(x) は変数 x に関する上半連続写像で、{F(x)} は閉凸集合とする。このとき、適当な定数 C に対して ( x 1 − x 2 ) T ( F ( x 1 ) − F ( x 2 ) ) ≤ C ‖ x 1 − x 2 ‖ 2 ( ∀ x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}\quad (\forall x_{1},x_{2})} を満たすならば、F は片側リプシッツ (one-sided Lipschitz) である。 このような写像 F が、非常に大きなリプシッツ定数 K を持つが片側リプシッツ定数 C は穏当な大きさあるいは負にさえなる、というようなことも起こり得る。そのような函数の例として F : R 2 → R ; F ( x , y ) = − 50 ( y − cos ( x ) ) {\displaystyle F\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ;\;F(x,y)=-50(y-\cos(x))} はリプシッツ定数 K = 50 および片側リプシッツ定数 C = 0 を持つ。片側リプシッツだがリプシッツでないような例は F(x) = e−x (C = 0) で与えられる。
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