松原重み関数の選択
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/26 13:03 UTC 版)
ボソン振動数 z = i ω n {\displaystyle z=i\omega _{n}} の極を作るために、どちらの半平面で収束がコントロールされるかに依存して次の2つのタイプの松原重み関数を選ぶことができる。 h B ( 1 ) ( z ) = β 1 − e − β z = − β n B ( − z ) = β ( 1 + n B ( z ) ) {\displaystyle h_{B}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1-e^{-\beta z}}}=-\beta n_{B}(-z)=\beta (1+n_{B}(z))} h B ( 2 ) ( z ) = − β 1 − e β z = β n B ( z ) {\displaystyle h_{B}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1-e^{\beta z}}}=\beta n_{B}(z)} h B ( 1 ) ( z ) {\displaystyle h_{B}^{(1)}(z)} は左半平面(Re z < 0)での収束をコントロールし、 h B ( 2 ) ( z ) {\displaystyle h_{B}^{(2)}(z)} は右半平面(Re z > 0)での収束をコントロールする。 ここで n B ( z ) = ( e β z − 1 ) − 1 {\displaystyle n_{B}(z)=(e^{\beta z}-1)^{-1}} はボース分布関数である。 フェルミオン振動数の場合も同様である。 ２つのタイプの松原重み関数があり、 z = i ω m {\displaystyle z=i\omega _{m}} に極を作る。 h F ( 1 ) ( z ) = β 1 + e − β z = β n F ( − z ) = β ( 1 − n F ( z ) ) {\displaystyle h_{F}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1+e^{-\beta z}}}=\beta n_{F}(-z)=\beta (1-n_{F}(z))} h F ( 2 ) ( z ) = − β 1 + e β z = − β n F ( z ) {\displaystyle h_{F}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1+e^{\beta z}}}=-\beta n_{F}(z)} h F ( 1 ) ( z ) {\displaystyle h_{F}^{(1)}(z)} は左半平面(Re z < 0)での収束をコントロールし、 h F ( 1 ) ( z ) {\displaystyle h_{F}^{(1)}(z)} は右半平面(Re z > 0)での収束をコントロールする。 ここで n F ( z ) = ( e β z + 1 ) − 1 {\displaystyle n_{F}(z)=(e^{\beta z}+1)^{-1}} はフェルミ分布関数である。 グリーン関数への応用では、g(z)は常に次の構造を持つ。 g ( z ) = G ( z ) e − z τ {\displaystyle g(z)=G(z)e^{-z\tau }} これは0 < τ < βで与えられる左半平面で発散する。 収束をコントロールするために、第一のタイプの重み関数は常に h η ( z ) = h η ( 1 ) ( z ) {\displaystyle h_{\eta }(z)=h_{\eta }^{(1)}(z)} と選ぶ。 しかし松原振動数の和が発散しないときは収束をコントロールする必要はない。 そのような場合、どんな松原重み関数を選んでも同じ結果が得られる。
※この「松原重み関数の選択」の解説は、「松原振動数」の解説の一部です。
「松原重み関数の選択」を含む「松原振動数」の記事については、「松原振動数」の概要を参照ください。
- 松原重み関数の選択のページへのリンク
