統計力学 において、分配関数 （ぶんぱいかんすう、英 : Partition function ）または状態和 （じょうたいわ、英 : state sum, sum over states ）はカノニカル分布 の理論で導入される量である。カノニカル分布では、温度、体積、粒子数が指定された熱平衡状態 において、系があるエネルギーℰ=Ei の状態をとる確率P (Ei )ボルツマン因子 e−βEi に比例する。このとき、分配関数Z は系がとりうる全ての状態についてのボルツマン因子の和 ∑i e−βEi で定義される[ 1] [ 2] [ 注 1] P (Ei )e−βEi /Z で与えられる。分配関数を表す記号Z はドイツ語で状態和を表す語Zustandssummeに由来し[ 3] マックス・プランク によって導入されたものである。化学分野では記号 Z の代わりに記号 Q を用いることがあり、IUPAC は両者の表記を採用している[ 4] ウィラード・ギブズ は相積分、マックス・プランクは状態和と呼び、後にラルフ・ファウラーは分配関数と名付けた[ 5] [ 6] ヘルムホルツの自由エネルギー F は分配関数とF =−β −1 ·lnZ
一方、グランドカノニカル分布 において同様の役割を担う関数を大分配関数 （だいぶんぱいかんすう、英 : Grand partition function ）と呼び、 Ξ {\displaystyle \Xi \,} Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}}
系の取りうる全ての状態の集合を Ω とし、系が状態 ω ∈Ω E ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\omega )} Z (β )
Z ( β ) = ∑ ω ∈ Ω exp { − β E ( ω ) } {\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\omega \in \Omega }\exp\{-\beta {\mathcal {E}}(\omega )\}}
によって定義される。和の中の exp { − β E ( ω ) } {\displaystyle \exp\{-\beta {\mathcal {E}}(\omega )\}} ボルツマン因子 と呼ばれる。カノニカルアンサンブル は熱浴と接触する閉鎖系を表現するアンサンブルである。パラメータ β は熱浴を特徴づける量で、熱浴の温度と解釈される。熱力学温度 T とは β =1/kT 逆温度 と呼ばれる。k はボルツマン定数 である。分配関数に定数を乗じることはエネルギーの基準値をずらすことに等しい。分配関数の大きさそのものには意味がない。
熱平衡状態において、系がエネルギーℰ=Ei の状態を取る確率は
P ( E i ) = g i e − β E i Z {\displaystyle P(E_{i})={\frac {g_{i}e^{-\beta E_{i}}}{Z}}} で与えられる。ここでgi Ei 縮退度 であり、これはℰ(ω )=Ei を満たす状態ω ∈ΩEi
∑ i g i e − β E i = ∑ ω ∈ Ω e − β E ( ω ) = Z {\displaystyle \sum _{i}g_{i}e^{-\beta E_{i}}=\sum _{\omega \in \Omega }e^{-\beta {\mathcal {E}}(\omega )}=Z} であり、確率P (Ei )A の期待値は
⟨ A ⟩ = ∑ i A ( E i ) P ( E i ) = 1 Z ∑ i g i A ( E i ) e − β E i {\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}A(E_{i})P(E_{i})={\frac {1}{Z}}\sum _{i}g_{i}A(E_{i})e^{-\beta E_{i}}} となる。特にエネルギーE については、
⟨ E ⟩ = 1 Z ∑ i g i E e − β E i = − 1 Z ∂ Z ∂ β = − ∂ ln Z ∂ β {\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{i}g_{i}Ee^{-\beta E_{i}}=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}=-{\frac {\partial \ln {Z}}{\partial \beta }}} と分配関数の対数微分 で表される。
量子系 においては、系の状態はヒルベルト空間 上の状態ベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle \vert \psi \rangle } 量子論的 な演算子 で与えられ、特にエネルギーはハミルトン演算子 H ^ {\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}}
Z ( β ) = ∑ ψ ⟨ ψ | exp { − β H ^ } | ψ ⟩ {\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\psi }\langle \psi \vert \exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}\vert \psi \rangle }
となる。 状態ベクトルはパラメータ n で指定される正規直交完全系 | n ⟩ {\displaystyle \vert n\rangle }
| ψ ⟩ = ∑ n c n | n ⟩ , ⟨ ψ | = ∑ n c ¯ n ⟨ n | {\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{n}c_{n}\vert n\rangle ,~\langle \psi \vert =\sum _{n}{\bar {c}}_{n}\langle n\vert }
と展開される。状態ベクトルに対する和は展開係数に関する積分に置き換えられるので
Z ( β ) = ∏ l ∫ d c l d c ¯ l ∑ m , n c n c ¯ m ⟨ m | exp { − β H ^ } | n ⟩ = ∑ m , n ∏ l ∫ d c l d c ¯ l c n c ¯ m ⟨ m | exp { − β H ^ } | n ⟩ = C ∑ m , n δ m , n ⟨ m | exp { − β H ^ } | n ⟩ = C ∑ n ⟨ n | exp { − β H ^ } | n ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta )&=\prod _{l}\int dc_{l}d{\bar {c}}_{l}\sum _{m,n}c_{n}{\bar {c}}_{m}\langle m\vert \exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}\vert n\rangle \\&=\sum _{m,n}\prod _{l}\int dc_{l}d{\bar {c}}_{l}c_{n}{\bar {c}}_{m}\langle m\vert \exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}\vert n\rangle \\&=C\sum _{m,n}\delta _{m,n}\langle m\vert \exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}\vert n\rangle \\&=C\sum _{n}\langle n\vert \exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}\vert n\rangle \\\end{aligned}}}
となる。分配関数の大きさそのものには意味がないので係数 C を除くことができて、最終的には
Z ( β ) = ∑ n ⟨ n | exp { − β H ^ } | n ⟩ {\displaystyle Z(\beta )=\sum _{n}\langle n\vert \exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}\vert n\rangle }
となる。トレース を用いれば
Z ( β ) = t r [ exp { − β H ^ } ] {\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} [\exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}]}
と表現できる。
量子系では通常はハミルトン演算子を対角化 するエネルギー固有状態 を用いて表現される。エネルギー量子数 i と対応するエネルギー固有値 Ei により
Z ( β ) = ∑ i e − β E i {\displaystyle Z(\beta )=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}}
となる。 ここで ∑i は全てのエネルギー固有状態についての和であり、縮退 などがある場合には注意を要する。
古典系では、状態変数は連続的に変化するので、状態毎の和をとることが出来ない。そこで、粗視化 を行い、位置と運動量が「あまり変わらない」状態を同一の状態と考える。
例えば、1次元空間内の1粒子からなる系では、量子状態が位相空間 において「面積」2πℏ に1つの割合で分布すると考え、ボルツマン因子 e −βE 2πℏ で割ったものを分配関数と定義する。
Z ( β ) = 1 2 π ℏ ∬ d p d q e − β H ( p , q ) {\displaystyle Z(\beta )={\frac {1}{2\pi \hbar }}\iint {\mathrm {d} }p\,{\mathrm {d} }q\,e^{-\beta H(p,q)}}
ここで、H (p ,q )(p ,q ) におけるハミルトニアン である。
d 次元空間内のN 個の同一粒子からなる場合にも簡単に拡張できて、
Z ( β , N ) = 1 N ! ( 2 π ℏ ) N d ∬ ⋯ ∫ d d p 1 ⋯ d d p N d d q 1 ⋯ d d q N e − β H ( p 1 , ⋯ , p N , q 1 , ⋯ , q N ) {\displaystyle Z(\beta ,N)={\frac {1}{N!\,(2\pi \hbar )^{Nd}}}\iint \!\cdots \!\int {\mathrm {d} }^{d}p_{1}\cdots {\mathrm {d} }^{d}p_{N}\,{\mathrm {d} }^{d}q_{1}\cdots {\mathrm {d} }^{d}q_{N}\,e^{-\beta H({\mathbf {p} }_{1},\cdots ,{\mathbf {p} }_{N},{\mathbf {q} }_{1},\cdots ,{\mathbf {q} }_{N})}}
ここで、N !
系のハミルトニアンが
H = H a + H b + H c + ⋯ {\displaystyle H=H_{a}+H_{b}+H_{c}+\cdots } と独立な項に分けられ、対応するエネルギーが
E = E a + E b + E c + ⋯ {\displaystyle E=E_{a}+E_{b}+E_{c}+\cdots } という部分和に表される場合、分配関数は
Z = Z a ⋅ Z b ⋅ Z c ⋯ {\displaystyle Z=Z_{a}\cdot Z_{b}\cdot Z_{c}\cdots } という積の形で表される[ 1] N の系においては、分配関数は1粒子の分配関数Z 1
Z = ( Z 1 ) N {\displaystyle Z=(Z_{1})^{N}} とZ 1 N 乗の形に表される。
系の取りうる全ての状態の集合を Ω とし、系が状態 ω ∈Ω E ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\omega )} N ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\omega )} Ξ (β ,μ )
Ξ ( β , μ ) = ∑ ω ∈ Ω exp { − β E ( ω ) + β μ N ( ω ) } {\displaystyle \Xi (\beta ,\mu )=\sum _{\omega \in \Omega }\exp\{-\beta {\mathcal {E}}(\omega )+\beta \mu {\mathcal {N}}(\omega )\}}
によって定義される。グランドカノニカルアンサンブル は熱浴、粒子浴と接触する解放系を表現するアンサンブルである。パラメータ μ は粒子浴の化学ポテンシャル である。
集合 Ω を粒子数 N によって
Ω ( N ) = { ω ∈ Ω ; N ( ω ) = N } {\displaystyle \Omega (N)=\{\omega \in \Omega ;{\mathcal {N}}(\omega )=N\}}
Ω = ∐ N Ω ( N ) {\displaystyle \Omega =\coprod _{N}\Omega (N)}
の非交和 に分解する。これを用いて大分配関数を変形すれば
Ξ ( β , μ ) = ∑ N ∑ ω ∈ Ω ( N ) exp { − β E ( ω ) + β μ N ( ω ) } = ∑ N e β μ N ∑ ω ∈ Ω ( N ) exp { − β E ( ω ) } = ∑ N e β μ N Z ( β , N ) = ∑ N λ N Z ( β , N ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Xi (\beta ,\mu )&=\sum _{N}\sum _{\omega \in \Omega (N)}\exp\{-\beta {\mathcal {E}}(\omega )+\beta \mu {\mathcal {N}}(\omega )\}\\&=\sum _{N}\mathrm {e} ^{\beta \mu N}\sum _{\omega \in \Omega (N)}\exp\{-\beta {\mathcal {E}}(\omega )\}\\&=\sum _{N}\mathrm {e} ^{\beta \mu N}Z(\beta ,N)\\&=\sum _{N}\lambda ^{N}Z(\beta ,N)\\\end{aligned}}}
となる。ここで λ =eβμ 活量 である。大分配関数は粒子数 N の分配関数の母関数 と見ることができる。
分配関数は統計力学を熱力学 に関係付ける上で重要な関数である。 系のヘルムホルツエネルギー F (β )
F ( β ) = − 1 β ln Z ( β ) {\displaystyle F(\beta )=-{\frac {1}{\beta }}\ln Z(\beta )}
で定義される。 温度の関数として表されたヘルムホルツエネルギーは完全な熱力学関数 であり、系の熱力学的な性質の全てを導くことが可能である。 この式はカノニカルアンサンブルにおいて、マクロな熱力学関数をミクロな統計力学に基づいて導く式である。
大分配関数を用いて定義される
J ( β , μ ) = − 1 β ln Ξ ( β , μ ) {\displaystyle J(\beta ,\mu )=-{\frac {1}{\beta }}\ln \Xi (\beta ,\mu )}
はグランドポテンシャル と呼ばれる。温度と化学ポテンシャルの関数としてのグランドポテンシャルも完全な熱力学関数であり、グランドカノニカルアンサンブルにおいて、統計力学に基づいて熱力学関数を導く式である。
別の表現として、逆温度 β
Ψ ( β ) = − β F ( β ) = ln Z ( β ) {\displaystyle \Psi (\beta )=-\beta F(\beta )=\ln Z(\beta )}
q ( β , α ) = − β J ( β , α / β ) = ln Ξ ( β , α / β ) {\displaystyle q(\beta ,\alpha )=-\beta J(\beta ,\alpha /\beta )=\ln \Xi (\beta ,\alpha /\beta )}
Ψ マシュー関数（英語版 ） 、 q クラマース関数（英語版 ） という。
Ω 、分配関数 Z Ξ の関係熱力学関数どうしがルジャンドル変換 で関係づけられていることに対応して、状態密度 Ω(E , V , N ) 、分配関数 Z (β , V , N )Ξ(β , V , μ ) の間はラプラス変換 を通じて結びついている[ 7]
Z ( β , V , N ) = ∫ 0 ∞ e − β E Ω ( E , V , N ) d E , Ξ ( β , V , μ ) = ∑ N = 0 ∞ e β μ N Z ( T , V , N ) {\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta ,V,N)&=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}\Omega (E,V,N)\mathrm {d} E,\\\Xi (\beta ,V,\mu )&=\sum _{N=0}^{\infty }e^{\beta \mu N}Z(T,V,N)\end{aligned}}} の関係がある。
また、等温定圧集団 については分配関数 Z (β , V , N )
Z ( T , P , N ) := ∫ 0 ∞ Z ( T , V , N ) e − P V / k T d V {\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,P,N):=\int _{0}^{\infty }Z(T,V,N)e^{-PV/kT}\mathrm {d} V} で与えられるT -P 分配関数を用いて、
G ( T , P , N ) = − k T ln Z ( T , P , N ) {\displaystyle G(T,P,N)=-kT\ln {\mathcal {Z}}(T,P,N)} でギブス自由エネルギー を表すことができる。
古典系 N 個の独立な調和振動子 から構成される古典系を考える。調和振動子の質量をm とし、角振動数 をω とする。系のハミルトニアンは
H N = ∑ i = 1 N h ( q i , p i ) = ∑ i = 1 N ( p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 q i 2 ) {\displaystyle H_{N}=\sum _{i=1}^{N}{h(q_{i},p_{i})}=\sum _{i=1}^{N}{\biggl (}{\frac {p_{i}^{\,2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q_{i}^{\,2}{\biggr )}} となる。但し、
h ( q i , p i ) = p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 q i 2 {\displaystyle h(q_{i},p_{i})={\frac {p_{i}^{\,2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q_{i}^{\,2}} は一つの調和振動子のハミルトニアンであり、それぞれの調和振動子は区別できるとする。このとき、分配関数は調和振動子間の相互作用が無いことから
Z ( β , N ) = 1 ( 2 π ℏ ) N ∬ ⋯ ∫ d p 1 ⋯ d p N d q 1 ⋯ d q N e − β H N = ( 1 ( 2 π ℏ ) ∬ d p i d q i e − β h ( q i , p i ) ) N = ( Z ( β , 1 ) ) N {\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta ,N)&={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{N}}}\iint \!\cdots \!\int \mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{N}\,\mathrm {d} q_{1}\cdots \mathrm {d} q_{N}\,e^{-\beta H_{N}}\\&={\biggl (}{\frac {1}{(2\pi \hbar )}}\iint \mathrm {d} p_{i}\mathrm {d} q_{i}\,e^{-\beta h(q_{i},p_{i})}{\biggr )}^{N}\\&={\bigl (}Z(\beta ,1){\bigr )}^{N}\end{aligned}}} とZ (β ,1)e-β h (qi , pi ) のqi (2πm /β )1/2 に、pi (2π/mω 2 β )1/2 になることから
Z ( β , 1 ) = 1 ℏ β ω {\displaystyle Z(\beta ,1)={\frac {1}{\hbar \beta \omega }}} Z ( β , N ) = ( 1 ℏ β ω ) N {\displaystyle Z(\beta ,N)={\biggl (}{\frac {1}{\hbar \beta \omega }}{\biggr )}^{N}} となる。
量子系 N 個の独立な調和振動子から構成される量子系を考える。調和振動子の質量をm とし、角振動数をω とする。一つの調和振動子のハミルトニアンˆ h qi ,pi )
E n i = ℏ ω ( n i + 1 2 ) ( n i = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle E_{n_{i}}=\hbar \omega {\biggl (}n_{i}+{\frac {1}{2}}{\biggr )}\quad (n_{i}=0,1,2,\cdots )} であり、系のハミルトニアンˆ H N
E = ∑ i = 1 N E n i = ∑ i = 1 N ℏ ω ( n i + 1 2 ) {\displaystyle E=\sum _{i=1}^{N}E_{n_{i}}=\sum _{i=1}^{N}\hbar \omega {\biggl (}n_{i}+{\frac {1}{2}}{\biggr )}} になる。このとき、分配関数は
Z ( β , N ) = ∑ n 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ n N = 0 ∞ exp ( − β ∑ i = 1 N E n i ) = ∑ n 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ n N = 0 ∞ ∏ i = 1 N e − β E n i = ∏ i = 1 N ∑ n i = 0 ∞ e − β E n i = ( Z ( β , 1 ) ) N {\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta ,N)&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{N}=0}^{\infty }\exp {{\biggl (}-\beta \sum _{i=1}^{N}E_{n_{i}}}{\biggr )}\\&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{N}=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{N}e^{-\beta E_{n_{i}}}\\&=\prod _{i=1}^{N}\sum _{n_{i}=0}^{\infty }e^{-\beta E_{n_{i}}}\\&=(Z(\beta _{,}1))^{N}\end{aligned}}} となる。一つの調和振動子におけるZ (β ,1)
Z ( β , 1 ) = ∑ n = 0 ∞ e − β E n = e − 1 2 β ℏ ω ∑ n = 0 ∞ e − β ℏ ω n {\displaystyle Z(\beta ,1)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\beta E_{n}}=e^{-{\frac {1}{2}}\beta \hbar \omega }\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\beta \hbar \omega n}} となる。これは等比級数であるから、
Z ( β , 1 ) = e − 1 2 β ℏ ω 1 − e − β ℏ ω = [ 2 sinh β ℏ ω 2 ] − 1 {\displaystyle Z(\beta ,1)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\beta \hbar \omega }}{1-e^{-\beta \hbar \omega }}}={\biggl [}2\sinh {\frac {\beta \hbar \omega }{2}}{\biggr ]}^{-1}} と求まり、
Z ( β , N ) = ( Z ( β , 1 ) ) N = [ 2 sinh β ℏ ω 2 ] − N {\displaystyle Z(\beta ,N)={\bigl (}Z(\beta ,1){\bigr )}^{N}={\biggl [}2\sinh {\frac {\beta \hbar \omega }{2}}{\biggr ]}^{-N}} になる。
N 個の単原子分子 の粒子から構成される理想気体 の古典系を考える。単原子分子の質量をm とする。i 番目の粒子の正準座標 をqi =(qix , qiy , qiz )正準運動量 をpi =(pix , piy , piz )
H N = ∑ i = 1 N h ( q i , p i ) = ∑ i = 1 N 1 2 m ( p i x 2 + p i y 2 + p i z 2 ) {\displaystyle H_{N}=\sum _{i=1}^{N}{h(q_{i},p_{i})}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2m}}{\bigl (}p_{ix}^{\,2}+p_{iy}^{\,2}+p_{iz}^{\,2}{\bigr )}} となる。但し、
h ( q i , p i ) = 1 2 m ( p i x 2 + p i y 2 + p i z 2 ) {\displaystyle h(q_{i},p_{i})={\frac {1}{2m}}{\bigl (}p_{ix}^{\,2}+p_{iy}^{\,2}+p_{iz}^{\,2}{\bigr )}} は1粒子のハミルトニアンである。このとき、分配関数は粒子間の相互作用が無いことから
Z ( β , N ) = 1 N ! ( 2 π ℏ ) 3 N ∬ ⋯ ∫ d 3 p 1 ⋯ d 3 p N d 3 q 1 ⋯ d 3 q N e − β H N = 1 N ! ( 1 ( 2 π ℏ ) 3 ∬ d 3 p i d 3 q i e − β h ( q i , p i ) ) N = 1 N ! ( Z ( β , 1 ) ) N {\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta ,N)&={\frac {1}{N!\,(2\pi \hbar )^{3N}}}\iint \!\cdots \!\int \mathrm {d} ^{3}p_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}p_{N}\,\mathrm {d} ^{3}q_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}q_{N}\,e^{-\beta H_{N}}\\&={\frac {1}{N!}}{\biggl (}{\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\iint \mathrm {d} ^{3}p_{i}\mathrm {d} ^{3}q_{i}\,e^{-\beta h(q_{i},p_{i})}{\biggr )}^{N}\\&={\frac {1}{N!}}{\bigl (}Z(\beta ,1){\bigr )}^{N}\end{aligned}}} とZ (β ,1)e-β h (qi , pi ) のqi =(qix , qiy , qiz )V 、pi =(pix , piy , piz )(2πm )3/2 になることから
Z ( β , 1 ) = V ( m 2 π ℏ 2 β ) 3 2 = V ( 2 π m h 2 β ) 3 2 {\displaystyle Z(\beta ,1)=V{\biggl (}{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}\beta }}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}=V{\biggl (}{\frac {2\pi m}{h^{2}\beta }}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}} Z ( β , N ) = V N N ! ( m 2 π ℏ 2 β ) 3 N 2 = V N N ! ( 2 π m h 2 β ) 3 N 2 {\displaystyle Z(\beta ,N)={\frac {V^{N}}{N!}}{\biggl (}{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}\beta }}{\biggr )}^{\frac {3N}{2}}={\frac {V^{N}}{N!}}{\biggl (}{\frac {2\pi m}{h^{2}\beta }}{\biggr )}^{\frac {3N}{2}}} となる。
^ エネルギーの縮退がある場合は、縮退度の考慮が必要となる。
![{\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} [\exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}]}](http://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ff8ccca995737c8d063eb7dfe1164ec0a75604)
![{\displaystyle Z(\beta ,1)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\beta \hbar \omega }}{1-e^{-\beta \hbar \omega }}}={\biggl [}2\sinh {\frac {\beta \hbar \omega }{2}}{\biggr ]}^{-1}}](http://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ff444ead40317ee544c5db9df81ca9d79998f8)
![{\displaystyle Z(\beta ,N)={\bigl (}Z(\beta ,1){\bigr )}^{N}={\biggl [}2\sinh {\frac {\beta \hbar \omega }{2}}{\biggr ]}^{-N}}](http://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dacf627cb017a3e5ec1edae74fb9e2e65e049a9)
