境界とサイクル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/03 01:14 UTC 版)
σ = (v0,...,vk)を向き付けられたk-単体とし、自由アーベル群C kと基底の１つとみなす。境界演算子 ∂ k : C k → C k − 1 {\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}} は次のように定義される準同型である。 ∂ k ( σ ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( v 0 , … , v i ^ , … , v k ) , {\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),} ここで、向き付けられた単体 ( v 0 , … , v i ^ , … , v k ) {\displaystyle (v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})} はσのi番目の面であり、σからそのi番目の頂点を削除することによって得られる。 C kの亜群の要素 Z k := ker ∂ k {\displaystyle Z_{k}:=\ker \partial _{k}} は、サイクルと呼ばれ、亜群 B k := im ∂ k + 1 {\displaystyle B_{k}:=\operatorname {im} \partial _{k+1}} は境界で構成されていると言われる。
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