代数計算による解法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/25 08:39 UTC 版)
「レギオモンタヌスの問題」の記事における「代数計算による解法」の解説
x x 2 + a b {\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+ab}}} の最大化を考えるところまでは同じで、これはその逆数 x 2 + a b x = x + a b x {\displaystyle {\frac {x^{2}+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}} を最小化することと同じである。この式は平方完成によって x + a b x = ( x 2 − 2 x a b x + a b x 2 ) ⏟ a perfect square + 2 x a b x = ( x − a b x ) 2 + 2 a b {\displaystyle {\begin{aligned}x+{\frac {ab}{x}}&=\underbrace {\left({\sqrt {x}}^{2}-2{\sqrt {x}}{\sqrt {\frac {ab}{x}}}+{\sqrt {\frac {ab}{x}}}^{2}\right)} _{\text{a perfect square}}+2{\sqrt {x}}{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\\&=\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}\end{aligned}}} と変形できる。これは平方式の項が0になるとき、つまり x = √ab のとき最小になる（もしくは相加相乗平均の不等式を利用してもよい）。
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