ロジャース・ラマヌジャン恒等式

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ロジャース＝ラマヌジャン恒等式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/13 05:01 UTC 版)

ロジャース＝ラマヌジャン恒等式（ロジャース＝ラマヌジャンこうとうしき、英: Rogers-Ramanujan identities）とは、q-級数の関係式。組合せ論においては、整数分割に結びついている。また数理物理学では、統計力学の可解格子模型や共形場理論に関連して現れる。イギリスの数学者レナード・ジェームス・ロジャースに1894年に導かれ、後にインドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって、1913年以前のどこかで再発見された。ラマヌジャンと親交が深く、共同研究者であった数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディは、“ロジャース＝ラマヌジャン恒等式よりも美しい公式を見つけ出すことは難しいだろう...”と述べている。

内容

以下の q-級数の関係式をロジャース＝ラマヌジャン恒等式と呼ぶ。

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-4})(1-q^{5n-1})}}$