マクシェイン積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/21 07:50 UTC 版)
「ヘンストック＝クルツヴァイル積分」の記事における「マクシェイン積分」の解説
興味深いことに、直線上のルベーグ積分を同様なやり方で再定義することができる。まず初めに、ヘンストック＝クルツヴァイル積分における条件である ∀ i t i − δ ( t i ) < u i − 1 ≤ t i ≤ u i < t i + δ ( t i ) {\displaystyle \forall _{i}\ t_{i}{-}\delta (t_{i})<u_{i-1}\leq t_{i}\leq u_{i}<t_{i}{+}\delta (t_{i})} を δ-細分割 (δ-fine partition) の概念を用いた条件 ∀ i t i ∈ [ u i − 1 , u i ] ⊂ U δ ( t i ) ( t i ) {\displaystyle \forall _{i}\ t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}]\subset U_{\delta (t_{i})}(t_{i})} に置き換える（ここで Uε(a) は a の ε-近傍とする）と、上で与えたものと同値になるが、このように変更したあとは条件 ∀ i t i ∈ [ u i − 1 , u i ] {\displaystyle \forall _{i}\ t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}]} を落とすことができて、マクシェイン積分の定義の条件 ∀ i [ u i − 1 , u i ] ⊂ U δ ( t i ) ( t i ) {\displaystyle \forall _{i}\ [u_{i-1},u_{i}]\subset U_{\delta (t_{i})}(t_{i})} が得られる（この変更の結果として得られるマクシェイン積分はルベーグ積分と同値になる）。
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