ベクトルの成分分解

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ベクトルの成分分解

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/14 15:52 UTC 版)

a の b への射影 a₁ と a の b からの反射影 a₂.

成す角が π/2 < θ ≤ π のときは、射影ベクトル a₁ は b に対して反対の方向を持つ。

線型代数学における空間ベクトル a の適当な非零ベクトル b 方向およびその法方向への分解（ぶんかい、英: vector resolution） $$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} _{\parallel \mathbf {b} }+\mathbf {a} _{\perp \mathbf {b} }$$

0° ≤ θ ≤ 90° のときには、a の b へのスカラー射影は射影ベクトルの大きさに一致する。

スカラー射影

a の b へのスカラー射影 a₁ ≔ a⋅ˆb は a と b の成す角 θ が π/2 < θ ≤ π のときは負符号を持つ。成す角が π/2 より小さいときにはベクトル射影の大きさ |a_∥b| に一致する。まとめると

• a₁ = |a_∥b| (0 ≤ θ ≤ π/2 のとき);
• a₁ = −|a_∥b| (π/2 < θ ≤ π のとき).

ベクトル射影

a の b への射影ベクトル a_∥b は零ベクトルであるかさもなくば b に平行である。

• a_∥b = 0 (θ = 90° のとき);
• a_∥b は b と同方向 (0° ≤ θ < 90° のとき);
• a_∥b と b は逆方向 (90° < θ ≤ 180° のとき).

ベクトル反射影

a の b からの反射影 a_⊥b は零ベクトルであるかさもなくば b に直交する。

• a_⊥b = 0 (θ = 0°, 180° のとき);
• a_⊥b は b に垂直 (0° < θ < 180° のとき).

行列表現

適当なベクトル方向への射影は射影行列として表現することができる。単位ベクトル a ≔ (a_x, a_y, a_z) への射影は行列 $$P_{a}:=aa^{\top }={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{pmatrix}}$$ カテゴリ