ファン・スコーテンの定理とは？わかりやすく解説

ファン・スコーテンの定理（ファン・スコーテンのていり、英: Van Schooten's theorem）とはオランダの数学者フランス・ファン・スコーテン（英語版）に由来して名づけられた、正三角形に関する定理である。

正三角形 $△ ABC$ とその外接円上の点 $P$ について $PA, PB, PC$ のうち最も長いものの長さは、他二つの長さの和と等しい。

この定理はトレミーの定理の系である。正三角形 $△ ABC$ の辺長を $a$ 、 $PA, PB, PC$ のうち最も長い辺を $PA$ とすれば、トレミーの定理によって次の式が成立する

${\begin{aligned}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{aligned}}$

一般化

正奇数角形

正 $2 n + 1$ 角形 $A 1 A 2 ... A 2 n + 1$ の外接円の弧 $A 1 A 2 n + 1$ 上の点 $P$ について、

$\sum _{k=0}^{n}\left|A_{2k+1}P\right|=\sum _{k=1}^{n}\left|A_{2k}P\right|$

が成立する^[1]。

例

正五角形 $ABCDE$ の外接円の弧 $AE$ 上の点 $P$ について、

が成立する^[2]^[3]^[4]。

一般の三角形

Bui Quang Tuanによる一般化を紹介する。 $△ ABC$ とその外接円上の点 $P$ について、 $P$ と $BC, CA, AB$ の距離をそれぞれ $d a, d b, d c$ とすれば、 $BC / d a, CA / d b, AB / d c$ のうち、最も長いものの長さは、そのほかの2つの長さの和と等しい^[5]。さらに、円内接多角形 $X 1 X 2 X 3 ... X n$ について、その外接円の弧 $X 1 X 2$ 上の点 $P$ を作る。このとき、 $P$ と辺 $X i X i+1$ の距離を $d i$ とすれば、

${\frac {X_{1}X_{2}}{d_{1}}}=\sum _{i=2}^{n}{\frac {X_{i}X_{i+1}}{d_{i}}}$

が成立する（ $X n +1 = X 1$ とする）。

出典

[脚注の使い方]

^ geometry_manuscript
^ 数学を楽しむトレミーの定理の応用
^ 三・四・五・七角形に関する興味深い等式の紹介
^ トレミーを散りばめる
^ “An Extension of van Schooten's Theorem”. Cut the knot. Alexander Bogomolny. 2025年1月29日閲覧。

参考文献

Claudi Alsina; Roger B. Nelsen (2010). Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA. pp. 102–103. ISBN 9780883853481
Doug French (2004). Teaching and Learning Geometry. Bloomsbury Publishing. pp. 62–64. ISBN 9780826434173
Raymond Viglione (2016-4). “Proof Without Words: van Schooten′s Theorem”. Mathematics Magazine 89 (2): 132.
Jozsef Sandor (2005). “On the Geometry of Equilateral Triangles”. Forum Geometricorum 5: 107–117.

外部リンク

Van Schooten's theorem at cut-the-knot.org

[1] try_manuscript

[2] 数学を楽しむトレミーの定理の応用

[3] 三・四・五・七角形に関する興味深い等式の紹介

[4] トレミーを散りばめる

[5] “An Extension of van Schooten's Theorem”. Cut the knot. Alexander Bogomolny. 2025年1月29日閲覧。

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ファン・スコーテンの定理とは？わかりやすく解説