ネロン・テイトの高さの下限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 04:39 UTC 版)
「標準的高さ」の記事における「ネロン・テイトの高さの下限」の解説
ネロン・テイトの高さの下限には 2つの基本的な予想がある。一つは、体 K が固定されていて楕円曲線 E / K {\displaystyle E/K} と 点 P ∈ E ( K ) {\displaystyle P\in E(K)} が変化する場合で、もう一つは、楕円レーマー予想（英語版）(elliptic Lehmer conjecture)で、曲線 E / K {\displaystyle E/K} が固定して点 P {\displaystyle P} の定義体が変化する場合である。 (ラング)すべての E / K {\displaystyle E/K} と捻れのないすべての P ∈ E ( K ) {\displaystyle P\in E(K)} に対して、 h ^ ( P ) ≥ c ( K ) log ( Norm K / Q Disc ( E / K ) ) . {\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(K)\log(\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }\operatorname {Disc} (E/K))\quad .} (レーマー)すべての P ∈ E ( K ¯ ) {\displaystyle P\in E({\bar {K}})} に対し、 h ^ ( P ) ≥ c ( E / K ) [ K ( P ) : K ] . {\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq {\frac {c(E/K)}{[K(P):K]}}\quad .} 両方の予想で、定数は正であり、与えられた値にのみ依存する。ABC予想はラングの予想を含んでいることが知られている。レーマー予想の最良の結果は、ダヴィッド・マッサー（英語版）(David Masser)によるより弱い見積もりである h ^ ( P ) ≥ c ( E / K ) / [ K ( P ) : K ] 3 + ϵ . {\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{3+\epsilon }\quad .} 楕円曲線が虚数乗法を持っている場合は、ローラン(Laurent)によりこれが h ^ ( P ) ≥ c ( E / K ) / [ K ( P ) : K ] 1 + ϵ {\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{1+\epsilon }} へ改善される。
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