トマホーク_(幾何学)とは？わかりやすく解説

トマハーク（Tomahawk）は、半円と二つの線分から成る、角の三等分（定規とコンパスによる作図は不可能^[1]）のための作図道具である。斧（トマホーク）に似ているから名付けられた^[2]^[3] 。

概要

形状としては、半円（刀）と、半円の直径から伸ばした半円の半径と同じ長さを持つ線分（鎚）及び直径と垂直に交わる直線（柄）から成る^[2]。

半円の代わりに円が使われている資料もあり^[4]、また柄の太さも異なるものもあるが^[5]、それらの事項は作図には無関係である。

使用例

角の三等分線

任意の大きさの角 $\angle BAE$ について、柄 $AD$ が求める三等分線のうち1つを、そして半円の半径 $AC$ がもう一つを成す。

トマホークの使用例の一つとして角の三等分問題がある。トマホークの柄を角の頂点に当て、刀を角度を成す半直線の一方に置き、角を形成する2つの直線の一方に接するようにし、鎚を角のもう一方の直線に触れるようにする。その時、トマホークの柄の部分が求めたい角の三等分線の内の一つであり、もう1つは半円の中心点を通る^[2]^[5]。トマホークに比べて作図する角度が狭すぎる場合、その角度をトマホークが当てられる大きさになるまで2倍にしながら三等分線を作図し、その二等分線を引くことにより、その角度の三等分線を作図することができる^[3]。

その時、角の頂点を $A$ 、刀の接点を $B$ 、半円の中心を $C$ 、柄の頂点を $D$ 、鎚を $E$ とすると、三角形 $△ ACD$ と $△ ADE$ はどちらも底辺を共有し高さが等しい直角三角形となので $△ ACD$ ≡ $△ ADE$ となる。三角形 $△ ABC$ の辺 $AB$ と $BC$ はそれぞれ半円の接線と半径であるため、それらは直角に交わり、そのため $△ ABC$ も直角三角形となる。△ABCの斜辺は△ACDの斜辺と共有し、辺の長さ $BC と CD$ も等しいため、その2つの三角形も合同となる。そのため、頂点で形成される3つの角度が等しくなる^[4]^[5]。よって、この方法で角の三等分線を作図できる。

経歴

トマホークの発明者は不明であるが^[2]^[6]、19 世紀以降のフランスでの論文では既にその存在は確認されている。

参考文献

^ 三乗根が必要となるため。
^ ^a ^b ^c ^d Yates, Robert C. (1941), “The Trisection Problem, Chapter III: Mechanical trisectors”, National Mathematics Magazine 15 (6): 278–293, doi:10.2307/3028413, JSTOR 3028413, MR 1569903, https://jstor.org/stable/3028413 . 引用エラー: 無効な <ref> タグ; name "yates"が異なる内容で複数回定義されています
^ ^a ^b Gardner, Martin (1975), Mathematical Carnival: from penny puzzles, card shuffles and tricks of lightning calculators to roller coaster rides into the fourth dimension, Knopf, pp. 262–263 . 引用エラー: 無効な <ref> タグ; name "gardner"が異なる内容で複数回定義されています
^ ^a ^b Meserve, Bruce E. (1982), Fundamental Concepts of Algebra, Courier Dover Publications, p. 244, ISBN 9780486614700 . 引用エラー: 無効な <ref> タグ; name "meserve"が異なる内容で複数回定義されています
^ ^a ^b ^c Isaacs, I. Martin (2009), Geometry for College Students, Pure and Applied Undergraduate Texts, 8, American Mathematical Society, pp. 209–210, ISBN 9780821847947 . 引用エラー: 無効な <ref> タグ; name "isaacs"が異なる内容で複数回定義されています
^ Aaboe, Asger (1997), Episodes from the Early History of Mathematics, New Mathematical Library, 13, Mathematical Association of America, p. 87, ISBN 9780883856130 .

外部リンク

Trisection using special tools: "Tomahawk", イワモトタカヤ, 2006, featuring a tomahawk tool made from transparent vinyl and comparisons for accuracy against other trisectors
Weisstein, Eric W. “Tomahawk”. mathworld.wolfram.com (英語).
Construction heptagon with tomahawk, animation

[1] 三乗根が必要となるため。

[yates-2] Yates, Robert C. (1941), “The Trisection Problem, Chapter III: Mechanical trisectors”, National Mathematics Magazine 15 (6): 278–293, doi:10.2307/3028413, JSTOR 3028413, MR 1569903, https://jstor.org/stable/3028413 . 引用エラー: 無効な <ref> タグ; name "yates"が異なる内容で複数回定義されています

[gardner-3] Gardner, Martin (1975), Mathematical Carnival: from penny puzzles, card shuffles and tricks of lightning calculators to roller coaster rides into the fourth dimension, Knopf, pp. 262–263 . 引用エラー: 無効な <ref> タグ; name "gardner"が異なる内容で複数回定義されています

[meserve-4] Meserve, Bruce E. (1982), Fundamental Concepts of Algebra, Courier Dover Publications, p. 244, ISBN 9780486614700 . 引用エラー: 無効な <ref> タグ; name "meserve"が異なる内容で複数回定義されています

[isaacs-5] Isaacs, I. Martin (2009), Geometry for College Students, Pure and Applied Undergraduate Texts, 8, American Mathematical Society, pp. 209–210, ISBN 9780821847947 . 引用エラー: 無効な <ref> タグ; name "isaacs"が異なる内容で複数回定義されています

[6] Aaboe, Asger (1997), Episodes from the Early History of Mathematics, New Mathematical Library, 13, Mathematical Association of America, p. 87, ISBN 9780883856130 .

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