アポロニウスの円の中心
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/03 17:40 UTC 版)
「アポロニウスの円」の記事における「アポロニウスの円の中心」の解説
線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、 P O → = P Q → + P R → 2 = 1 2 ( n P A → + m P B → n + m + n P A → − m P B → n − m ) = ( n − m ) ( n P A → + m P B → ) + ( n + m ) ( n P A → − m P B → ) 2 ( n + m ) ( n − m ) = 2 n 2 P A → − 2 m 2 P B → 2 ( n 2 − m 2 ) = n 2 P A → − m 2 P B → n 2 − m 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {PO} }}&={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}+{\overrightarrow {\mathrm {PR} }}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}}+{\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}\right)\\&={\frac {(n-m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})+(n+m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})}{2(n+m)(n-m)}}\\&={\frac {2n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-2m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{2(n^{2}-m^{2})}}\\&={\frac {n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n^{2}-m^{2}}}.\end{aligned}}} すなわち、点Oは線分ABを m 2 : n 2 {\displaystyle m^{2}:n^{2}} に外分する点になる。
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