アポロニウスの円の半径
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/03 17:40 UTC 版)
「アポロニウスの円」の記事における「アポロニウスの円の半径」の解説
アポロニウスの円の半径を r とする。ここで平方完成 1 2 Q R → = P R → − P Q → 2 = 1 2 ( n P A → − m P B → n − m − n P A → + m P B → n + m ) = ( n + m ) ( n P A → − m P B → ) − ( n − m ) ( n P A → + m P B → ) 2 ( n + m ) ( n − m ) = 2 m n P A → − 2 m n P B → 2 ( n 2 − m 2 ) = m n ( P B → − P A → ) m 2 − n 2 = m n m 2 − n 2 A B → . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }}&={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {PR} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}-{\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}}\right)\\&={\frac {(n+m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})-(n-m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})}{2(n+m)(n-m)}}\\&={\frac {2mn{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-2mn{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{2(n^{2}-m^{2})}}\\&={\frac {mn({\overrightarrow {\mathrm {PB} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }})}{m^{2}-n^{2}}}\\&={\frac {mn}{m^{2}-n^{2}}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}.\end{aligned}}} 定義より、 A R → = P R → − P A → = n P A → − m P B → n − m − P A → = m n − m ( P A → − P B → ) = m m − n A B → , Q B → = n m + n A B → , A O → = P O → − P A → = n 2 P A → − m 2 P B → n 2 − m 2 − P A → = m 2 n 2 − m 2 ( P A → − P B → ) = m 2 m 2 − n 2 A B → , B O → = P O → − P B → = n 2 P A → − m 2 P B → n 2 − m 2 − P B → = n 2 n 2 − m 2 ( P A → − P B → ) = n 2 m 2 − n 2 A B → . {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {AR} }}&={\overrightarrow {\mathrm {PR} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {m}{n-m}}({\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\\&={\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {QB} }}&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {AO} }}&={\overrightarrow {\mathrm {PO} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n^{2}-m^{2}}}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {m^{2}}{n^{2}-m^{2}}}({\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\\&={\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {BO} }}&={\overrightarrow {\mathrm {PO} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}\\&={\frac {n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n^{2}-m^{2}}}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}\\&={\frac {n^{2}}{n^{2}-m^{2}}}({\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\\&={\frac {n^{2}}{m^{2}-n^{2}}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}.\end{aligned}}} したがって、 r = | m n m 2 − n 2 | ⋅ A B = A R ⋅ Q B A B = O A ⋅ O B . {\displaystyle r=\left|{\frac {mn}{m^{2}-n^{2}}}\right|\cdot \mathrm {AB} ={\frac {\mathrm {AR} \cdot \mathrm {QB} }{\mathrm {AB} }}={\sqrt {\mathrm {OA} \cdot \mathrm {OB} }}.}
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