Q値 機械工学

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Q値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/29 06:47 UTC 版)

機械工学

1自由度のばね－質量系において、Q値は機械的抵抗を用いて表現できる。

$Q={\frac {\sqrt {MK}}{R}}$

ここで M は質量, K は弾性率で R は機械的抵抗である。 ばね－質量系の角振動数を用いて、

$\omega ={\sqrt {\frac {K}{M}}}$

また、別の表現をすれば、

$Q={\frac {\omega {}M}{R}}$

と導出できる。

Qは減衰定数 $\zeta$ 、損失率 $\eta$ を用いて、

$Q={\frac {1}{2\zeta }}={\frac {1}{\eta }}$

と表される。

ここで、周期的に外力が作用する強制振動を考える。

${d^{2}x \over dt^{2}}+2\zeta \omega _{n}{dx \over dt}+\omega _{n}x=-{F_{0} \over k}\omega _{n}^{2}\cos \omega t$

この解は、

$x=A\cos \omega t+B\sin \omega t$

となるから、 sin成分とcos成分のそれぞれの係数を比較することにより連立方程式を立てて解くと、

$x={F_{0} \over k}{1 \over {\left\{{1-\left({\omega \over \omega _{n}}\right)^{2}}\right\}^{2}+\left({2\zeta {\omega \over \omega _{n}}}\right)^{2}}}\left[\left\{{1-\left({\omega \over \omega _{n}}\right)^{2}}\right\}\cos \omega t+2\zeta {\omega \over \omega _{n}}\sin \omega t\right]$

このとき、共振周波数:$\omega =\omega _{n}$における振動を考えると

$x(\omega _{n})={F_{0} \over k}{1 \over {2\zeta }}\sin \omega t$

したがって、

$x(\omega _{n})={F_{0} \over k}Q\sin \omega t$

なお、静的荷重時の変位x₀は、

$x_{0}={F_{0} \over k}$

となるから、共振周波数での振幅との比は、

${x(\omega _{n}) \over x_{0}}=Q$

したがって、共振周波数において、振動振幅は静的荷重時のQ倍に増大する。