Fσ集合 Fσ集合の概要

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Fσ集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/26 15:12 UTC 版)

性質

F_σ-集合の補集合は G_δ-集合である。

可算個の F_σ-集合の合併はまた F_σ-集合であり、有限個の F_σ-集合の交わりはふたたび F_σ-集合を成す（F_σ-集合の可算交叉は F_σδ-集合という）。

例と反例

• 任意の閉集合は明らかに F_σ-集合である。
• 有理数全体の成す集合 Q は実数全体の成す集合 R の F_σ-集合である。無理数全体の成す集合 P = R ∖ Q は R の F_σ-集合ではない。
• チホノフ空間において、一点集合 {x} は閉集合となるから、任意の高々可算な集合は F_σ-集合になる。
• 距離化可能空間においては、任意の開集合が F_σ-集合になり、また任意の閉集合が G_δ-集合になる。

座標平面 R² 上の点 (x, y) で x/y が有理数となるようなもの全体の成す集合 A は F_σ-集合である。これは A が原点を通り、傾きが有理数であるような直線の和

${\displaystyle A=\bigcup _{r\in \mathbb {Q} }\{(ry,y)\mid y\in \mathbb {R} \}}$

として書けることによる。ここで有理数全体の成す集合 Q が可算集合であることに注意。

参考文献

• John L. Kelley, General topology, van Nostrand, 1955.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR507446 

関連項目

• G_δ-集合
• ボレル階層