可除群 可除群の構造定理

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可除群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 05:39 UTC 版)

可除群の構造定理

G を可除群とすると、G の捩れ部分群 Tor(G) は可除である。可除群は入射加群であるから、Tor(G) は G の直和因子である。したがって

$G=\operatorname {Tor} (G)\oplus G/\operatorname {Tor} (G)$

である。可除群の商であるから、G/Tor(G) は可除である。さらに、トーションがない。したがって、これは Q 上のベクトル空間であり、ある集合 I が存在して

$G/\operatorname {Tor} (G)=\textstyle \bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}$

となる。捩れ部分群の構造は決定するのが難しいが、すべての素数 p に対してある $I_{p}$ が存在して

$(\operatorname {Tor} (G))_{p}=\textstyle \bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}$

となることを示すことができる。ここで $(\operatorname {Tor} (G))_{p}$ は Tor(G) の p-準素成分である。

したがって、P を素数全体の集合とすれば、

$G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.$

集合 I および p∈P に対して I_p の濃度は群 G によって一意的に決まる。