双曲線 双曲線の方程式

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双曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 09:39 UTC 版)

双曲線の方程式

双曲線の標準形

標準形	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$
漸近線	${\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0$	${\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0$
焦点	$(\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$	$(0,\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}})$
頂点	$(\pm {a},0)$	$(0,\pm {b})$
準線	$x=\pm {\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	$y=\pm {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
離心率	$e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}$	$e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{b}}$

双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ (*)

この場合、焦点の座標は

$F(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)\ ,\ F'(+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$

と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF − PF'| は 2a となる。原点を双曲線の中心といい、2点(±a, 0) を双曲線の頂点という。

双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線 $x={\tfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ までの距離の比は一定であり、比の値は離心率 $e={\tfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}$ に等しい。

また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、漸近線の方程式は

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0\ ,\ {\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}=0$

である。

特に、漸近線が直交している、すなわち a = b であるとき、この双曲線を特に直角双曲線という。

反比例のグラフ xy = C も双曲線の一種である。これは、直角双曲線：x² − y² = 2C を原点の回りに 45° = π/4 だけ回転させた双曲線に等しい。

双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。

${\begin{cases}x=\pm a\cosh t\\y=b\sinh t\end{cases}}$

また双曲線から左側の頂点 (−a, 0) を除けば有理関数を用いて媒介変数表示することもできる。

${\begin{cases}x=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\y=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}\end{cases}}$

ただし t ≠ ±1 とする。右側の連結成分は −1 < t < 1 に、左下の連結成分は t > 1 に、左上の連結成分は t < −1 に対応する。これは二点 (−a, 0) と (0, tb) を通る直線 ay = tb(x + a) と双曲線との交点のひとつとして得られる。