単葉関数 単葉関数の概要

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単葉関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/07 09:56 UTC 版)

基本的な性質

定理 (単葉正則関数の基本定理)

$f(z)$ を複素平面のある連結領域 D で定義された正則関数とし、その微分を $f'(z)$ で表す。

(1) $f(z)$ が D で単葉であれば D で $f'(z)\neq 0$ である。

(2) D の点 $z_{0}$ で $f'(z_{0})\neq 0$ であれば、$z_{0}$ の近傍 U を、U で$f(z)$ が単葉になるように選ぶことができる。

証明

(1) D で$f(z)$が単葉正則であるが、$f'(z)$ の零点が存在すると仮定して矛盾を導く。

まず、$f'(z)$ の零点の内の一つを任意に選んで $z_{0}$ とする。$z_{0}$ の近傍 U を、その閉包 ${\overline {U}}$ がコンパクトで ${\overline {U}}\subset D$ となるように選ぶ。

この仮定の下では、${\overline {U}}$ で $f'(z)$ の零点の個数は有限である。なぜなら、零点が無限個存在するとすれば、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理により ${\overline {U}}$ において全ての零点の集合は少なくとも1個の集積点を持つことになり、一致の定理から U で $f'(z)=0$ となり、$f(z)$ は単葉正則という仮定に反するからである。

U で $z_{0}$ 以外に零点が存在する場合は、閉包がその零点を含まないようにUを選び直す（このような操作は零点が有限個であるから可能である）。

$g(z)=f(z)-f(z_{0})$ と置けば $g(z_{0})=g'(z_{0})=0$ である。従って $z=z_{0}$ における $g$ の位数は2以上で、これを $n$ とすれば $g(z)=(z-z_{0})^{n}g_{1}(z)$、$g_{1}(z_{0})\neq 0$ と置くことができる。

$g$ は $\partial U$ 上で零点を持たず、また $\partial U$ はコンパクトであるため、$0<|\alpha |<\min _{z\in \partial U}|g(z)|$ を満たす複素数 $\alpha$ を任意に選べば、ルーシェの定理から U における $g(z)$ と$h(z)=g(z)+\alpha$ の位数を含めた零点の個数はともに $n$ となる。

$h$ について、$h(z_{0})=\alpha \neq 0$ であり、$h'(z)=f'(z)$ は U で $z_{0}$ 以外に零点を持たないので、 U における $h$ の零点の位数は1である（重根を持たない）。したがって $h$ はUで位数1の相異なる零点を $n(\geq 2)$ 個持つことになる。

以上から、$f(z)=h(z)+f(z_{0})-\alpha$ は U で同じ値となる点を複数持つことになり、$f(z)$ が D で単葉であるという仮定に反する。

(2) $g(z)=f(z)-f(z_{0})$ と置き、(1) と同様にして、$z_{0}$ の近傍 U を、${\overline {U}}$ がコンパクトで、その上では $z_{0}$ のみが $g(z)$ の零点となるように選ぶ。

$g(z_{0})=0$、$g'(z_{0})=f'(z_{0})\neq 0$ であるから $z_{0}$ は $g$ の1位の零点である。

$g$ は $\partial U$ 上で零点を持たず、また $\partial U$ はコンパクトであるため、$0<|-\alpha |<\min _{z\in \partial U}|g(z)|$ を満たす複素数 $\alpha$ を任意に選べば、ルーシェの定理から U における $g(z)$ と $g(z)-\alpha$ の零点の全位数は共に1である。

すなわち、$g(z)=\alpha$ となる点が U においてただ一つ存在する。$V=\{z\mid |g(z)|<\min _{z\in \partial U}|g(z)|\}\subset U$ と置けば、V 上で $g(z)$ および $f(z)=g(z)+f(z_{0})$ は単葉である。

系

$f(z)$ を複素平面のある領域 D で定義された単葉正則関数とすれば、$f(z)$ は単葉正則な逆写像 $f^{-1}(\omega )$ を持ち、連鎖律から、

${\frac {df^{-1}(\omega )}{d\omega }}={\frac {1}{f'(z)}},\quad \omega =f(z)$

となる。

関連する定理

単葉関数と関連する重要な定理がいくつか知られているが、ここでは次の一例のみを紹介する(この定理はリーマンの写像定理を証明する際に必要となる)。

定理 (単葉正則関数の収束定理)

複素平面のある領域 D で定義された単葉正則関数の列 { f_n(z) } ( $n\in \mathbb {N}$ ) が f (z) に広義一様収束するのであれば、f (z) は D で単葉正則関数かまたは定数となる。

証明

まず、 { f_n(z) } が単葉正則関数であっても f (z) が定数となる例として f_n(z) = z / n がある。当然 f (z) は定数 0 となる。

次に、 D で f (z) が定数でも単葉関数でもないと仮定する。この場合、少なくとも、f (z₁) = f (z₂) = α となる D 内の異なる2点、z₁、 z₂ が存在するはずである。

g_n(z) = f_n(z) − α、g (z) = f (z) − αと定義すれば、 { g_n(z) } は D で定義された単葉関数の列であり、g (z) に広義一様収束する。

z₁、z₂ を含み、その閉包 ${\overline {D'}}\$ が D に含まれる有界な領域 $D'\$ を選ぶことができる。 ${\overline {D'}}\$ は有界な閉集合としてコンパクトであり、 { g_n(z) } は${\overline {D'}}\$で g (z) に一様収束する。

上の仮定の下では、${\overline {D'}}\$で g (z) の零点の個数は有限である。なぜなら、零点が無限個存在するとすれば、${\overline {D'}}\$はコンパクトであるからボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理により全ての零点の集合は少なくとも1個の集積点を持つことになり、一致の定理から g (z) は D で 0 となるが、これは f (z) が定数でないという仮定に反するからである。

$D'\$の境界 $\partial D'\$上に g (z) の零点があると都合が悪いので、そのような場合には${\overline {D'}}\$の内側に、z₁、z₂ を含み、しかもその境界上に g (z) の零点が来ないように領域を取り、これを改めて $D'\$とする(このような操作は g (z) の零点が有限個であるから可能である)。

g (z) は $\partial D'\$に零点を持たず、また $\partial D'\$ はコンパクトであるから、 $\partial D'\$ 上の|g (z) | の最小値は正数である。これをεとする。 { g_n(z) } は${\overline {D'}}\$で g (z) に一様収束するから、ある N ∈ $\mathbb {N}$ が存在して n ≥ N であれば |g_n(z) − g (z) | < εとできる。

従って、 n が十分大きな自然数であれば、 $\partial D'\$ 上で |g (z) | > |g_n (z) − g (z) | とでき、ルーシェの定理により$D'\$ での g_n (z) と g (z) の零点の個数は一致するはずであるが、g_n (z) は単葉関数であるから零点の個数は高々1であり(上記基本定理から単葉正則関数の微分は 0 にならないのでその零点の位数は1である)、一方 g (z) のそれはz₁、z₂ を含めて2以上であるから矛盾である。従って、 D で g (z) は定数でなければ単葉関数であることになる。