単射的対象 充分単射的対象をもつ

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単射的対象

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/11 16:28 UTC 版)

充分単射的対象をもつ

${\mathfrak {C}}$ を圏とし，H を ${\mathfrak {C}}$ の射のあるクラスとする；圏 ${\mathfrak {C}}$ が充分 H 単射的対象をもつ (have enough H injectives) とは，${\mathfrak {C}}$ のすべての対象 X に対して，X からある H-単射的対象へのある H 射が存在することをいう．

単射的包絡

${\mathfrak {C}}$ における H 射 g が H 本質的 (H-essential) であるとは，任意の射 f に対して，合成 fg が H に属するのは f が H に属するときに限ることをいう．H が単射全体のクラスであるとき，g は本質的単射と呼ばれる．

f が H 本質的 H 射であって，始域が X, 余域が H 単射的な G であるとき，G は X の H 単射的包絡 (H-injective hull) と呼ばれる．するとこの H 単射的包絡は，標準的でない同型の違いを除いて一意的である．

例

• アーベル群と群準同型の圏において，単射的対象は可除群である．
• 加群と加群準同型の圏 R-Mod において，単射的対象は単射的加群である．R-Mod は単射的包絡をもつ（したがって R-Mod は充分単射的対象をもつ）．
• 距離空間とnonexpansive mappingの圏 Met において，単射的対象は超凸距離空間であり，距離空間の単射的包絡はその超凸包である．
• T₀ 空間と連続写像の圏において，単射的対象は必ず連続束上のスコット位相であり，したがってそれは必ずsoberかつ局所コンパクトである．
• 単体的集合の圏において，anodyne extensions のクラスに関する単射的対象はカン複体である．
• 半順序集合と単調写像の圏において，完備束は順序埋め込みに対する単射的対象をなし，半順序集合の Dedekind–MacNeille 完備化はその単射的包絡である．
• より一般の圏，例えば関手圏や，環付き空間 (X, O_X) 上の O_X 加群の層の圏においても単射的対象を考えることができる．