リーマンの写像定理 証明のスケッチ

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リーマンの写像定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/22 08:52 UTC 版)

証明のスケッチ

U と U の中の点 z₀ が与えられたとすると、U を 単位円板へ z₀ を 0 へ移すような函数 f を構成したい。これをスケッチするために、リーマンが行ったように、U は有界で境界が滑らかと仮定しよう。また、

$f(z)=(z-z_{0})e^{g(z)}$

と書くこととする。ここに g = u + iv は、実部が u で虚部が v であるような正則函数（を定義するために）とおく。すると、明らかに、z₀ は f の唯一のゼロ点である。全ての z ∈ ∂U に対して、|f(z)| = 1 を要求すると、境界上では

$u(z)=-\log |z-z_{0}|$

が必要となる。u は正則函数の実部であるので、u が必然的に調和函数となり、すなわち、ラプラス方程式を満たす。

従って、問題は次のようになる。全ての U の上で定義され、与えられた境界をもつ実数に値をもつ調和函数 u は存在するであろうか？これへの肯定的な回答はディリクレの原理で与えられる。一度 u の存在が確立すると、正則函数 g のコーシー・リーマンの関係式より、v を見つけることができる（この議論は U が単連結であるという前提に依存する）。一度、u と v が構成されると、結果として現れる函数 f が実際に全て要求された性質を満たすことをチェックする必要がある。