ホップの最大値原理 ホップの最大値原理の概要

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ホップの最大値原理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/25 04:18 UTC 版)

数学的な定式化

u = u(x), x = (x₁, …, x_n) は、ある開領域 Ω において次の微分不等式を満たす C² 函数とする。

$Lu=\sum _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0$

ここに対称行列 a_ij = a_ij(x) は Ω において局所一様に正定値であり、係数 a_ij, b_i = b_i(x) は局所有界である。このとき、u が Ω 内で最大値 M を取るなら、u ≡ M である。

ホップの最大値原理は通常、線型微分作用素 L に対してのみ適用できるものと考えられている。この立場は特に、リヒャルト・クーラントとダフィット・ヒルベルトによる Methoden der mathematischen Physik においても取られている。しかしホップの原著論文の後半の節では、特定の非線型作用素 L も許すより一般の状況が考えられており、いくつかの場合では平均曲率やモンジュ＝アンペールの方程式に対するディリクレ問題における一意性の結果も導かれている。

参考文献

• Hopf, Eberhard (2002), Morawetz, Cathleen S.; Serrin, James B.; Sinai, Yakov G., eds., Selected works of Eberhard Hopf with commentaries, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2077-X, MR1985954 .
• Pucci, Patrizia; Serrin, James (2004), “The strong maximum principle revisited”, Journal of Differential Equations 196 (1): 1–66, doi:10.1016/j.jde.2003.05.001, MR2025185 .