ヒルベルトの定理90
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/01/12 14:55 UTC 版)
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K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、ノルム NK/k(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈K が存在して β=α/σα となることは同値である。
加法版
K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、トレース TrK/k(β) が 0 であることと、ある α∈K が存在して β=α−σα となることは同値である。
群コホモロジーを用いた表現
K/k を有限次ガロワ拡大、G をそのガロワ群とする。このとき
が成り立つ。
例
K/k を2次拡大 とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。
K の元 はノルム を持つ。 ノルムが1の元は の有理数解,もしくは単位円上の有理数点に対応する。 ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 y は整数 c と d で次のように表すことができる。
これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。 単位円上の有理数点はを満たすピタゴラス数を表す。
関連項目
- 1 ヒルベルトの定理90とは
- 2 ヒルベルトの定理90の概要
- 3 参考文献
- ヒルベルトの定理90のページへのリンク