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伊藤の補題

拡散過程 $X_t \,$ の微小時間 $dt \,$ での平均が $\mu (t, X_t) {\mbox{d}}t \,$ , 分散が $\sigma^2 (t,X_t) {\mbox{d}}t \,$ で与えられるとき, 確率微分方程式では

${\mbox{d}}X_t=\mu(t,X_t){\mbox{d}}t +\sigma (t,X_t) {\mbox{d}}B_t \,$

と表現する. ここで $B_t \,$ はブラウン運動である. さらに $Y_t=g(t,X_t) \,$ と変換すると, $Y_t \,$ は伊藤の補題により,

$\mbox{d}Y_t = g_t(t, X_t) \mbox{d}t + g_x(t, X_t) \mbox{d}X_t + (1/2)g_{xx}(t, X_t)(\mbox{d} X_t)^2 \,$

を満たす.

ただし $({\mbox{d}}X_t)^2 \,$ は, 計算規則

${\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}t = {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}B_t = {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}t = 0, \ \ {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}B_t={\mbox{d}}t \,$

により与えられる.

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伊藤の補題

(Itô's lemma から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/21 02:36 UTC 版)

伊藤の補題（いとうのほだい、Itō's/Itô's lemma）は、確率微分方程式の確率過程に関する積分を簡便に計算するための方法である。伊藤清が考案した。

脚注

^ 伊藤清『確率論』岩波書店、1991年。 5.15 章
^ 同書 5.16 章
^ 同書定理 5.38
^ 同書補題 5.11

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