さん‐じ【三次】
3次
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:38 UTC 版)
3次正方行列 A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}} の余因子行列を考える。(i, j)成分に (i, j)余因子を並べたものは、 C = [ + | a 22 a 23 a 32 a 33 | − | a 21 a 23 a 31 a 33 | + | a 21 a 22 a 31 a 32 | − | a 12 a 13 a 32 a 33 | + | a 11 a 13 a 31 a 33 | − | a 11 a 12 a 31 a 32 | + | a 12 a 13 a 22 a 23 | − | a 11 a 13 a 21 a 23 | + | a 11 a 12 a 21 a 22 | ] , {\displaystyle C={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},} ここで | a i m a i n a j m a j n | = det [ a i m a i n a j m a j n ] = det | a i m a i n a j m a j n | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}=\det {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}} である。余因子行列はこれの転置行列であるから、 adj ( A ) = C T = [ + | a 22 a 23 a 32 a 33 | − | a 12 a 13 a 32 a 33 | + | a 12 a 13 a 22 a 23 | − | a 21 a 23 a 31 a 33 | + | a 11 a 13 a 31 a 33 | − | a 11 a 13 a 21 a 23 | + | a 21 a 22 a 31 a 32 | − | a 11 a 12 a 31 a 32 | + | a 11 a 12 a 21 a 22 | ] {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=C^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}}
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