19世紀の umbral calculus
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/17 03:21 UTC 版)
「陰計算」の記事における「19世紀の umbral calculus」の解説
ここでいう umbral calculus とは、自然数で添字付けられた数列に関する等式を「添字を冪が如く扱う」ことによって導出するという、表記法に対する指示を与える方法論をいう。これを文字通り受け取れば非常に馬鹿げた内容なのであるが、これが殊の外うまく行くのである。つまり、umbral calculus で得られた等式はより複雑な（論理的に無理なく文字通りに取ることのできる）方法によってもきちんと導出することができる。 そのような例にはベルヌイ多項式が挙げられる。ひとまず二項係数に関して、通常の二項展開 ( y + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) y n − k x k {\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}} B n ( y + x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k ( y ) x k {\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}} d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}} d d x B n ( x ) = n B n − 1 ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x)} B n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) b n − k x k = ( b + x ) n {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n}} B n ′ ( x ) = n ( b + x ) n − 1 = n B n − 1 ( x ) {\displaystyle B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x)} を得るのである。上記に現れた変数 b を "umbra" と呼ぶ（ラテン語で「日影」「陰影」の意）。 「ファウルハーバーの公式」も参照
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