19世紀の umbral calculusとは? わかりやすく解説

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19世紀の umbral calculus

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/01/17 03:21 UTC 版)

陰計算」の記事における「19世紀の umbral calculus」の解説

ここでいう umbral calculus とは、自然数添字付けられ数列に関する等式を「添字を冪が如く扱う」ことによって導出するという、表記法対す指示与え方法論をいう。これを文字通り受け取れば非常に馬鹿げた内容のであるが、これが殊の外うまく行くのである。つまり、umbral calculus得られ等式はより複雑な論理的に理なく文字通りに取ることのできる)方法によってもきちんと導出することができる。 そのような例にはベルヌイ多項式挙げられるひとまず二項係数に関して通常の二項展開 ( y + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) y nk x k {\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}} B n ( y + x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k ( y ) x k {\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}} d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}} d d x B n ( x ) = n B n − 1 ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x)} B n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) b nk x k = ( b + x ) n {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n}} B n( x ) = n ( b + x ) n − 1 = n B n − 1 ( x ) {\displaystyle B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x)} を得るのである上記現れ変数 b を "umbra" と呼ぶ(ラテン語で「日影」「陰影」の意)。 「ファウルハーバーの公式」も参照

※この「19世紀の umbral calculus」の解説は、「陰計算」の解説の一部です。
「19世紀の umbral calculus」を含む「陰計算」の記事については、「陰計算」の概要を参照ください。

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