随伴関手

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随伴関手

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/11 14:45 UTC 版)

数学の特に圏論における随伴（ずいはん、英: adjunction）とは、二つの関手の間の（ある種の双対的な）関係のことである（随伴関係にある関手を持つ関手もあれば、持たない関手もある）。直感的に言えば、二つの相互に関連する圏の間に認められる、弱い同値的な関係のことである。この関係を表す関手のペアを随伴関手と呼び、片方を左随伴、もう片方を右随伴と呼ぶ。随伴の概念・随伴関手のペアは数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにし、また、ある種の数学的問題の"解決法の最適化"を行う過程で見出される(代数における集合上の自由群の構成や、位相空間におけるStone–Čech compactification(英語版)の構成などがその例である。

圏 ${\textstyle {\mathcal {C}}}$

Naturality of Φ

この図式の縦方向の射はfやgを合成することで誘導される射である。

随伴の全容

以上のことから、随伴にはたくさんの関手や自然変換を持っているが、その一部を決めるだけで他のものは決定される。

圏CとDの間の随伴は以下のものから構成される。

• 左随伴と呼ばれる関手F : C ← D
• 右随伴と呼ばれる関手G : C → D
• 自然同型Φ : hom_C(F–,–) → hom_D(–,G–)
• 余単位と呼ばれる自然変換 ε : FG → 1_C
• 単位と呼ばれる自然変換 η : 1_D → GF

等価な定式化として、XをCの任意の対象としYをDの任意の対象としたとき、

全てのCの射${\displaystyle f:FY\to X}$

このことを使うと、以下に挙げる復元が可能である

• 変換ε、η、Φは以下の等式で関連付けられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}f=\Phi _{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon _{X}\circ F(g)&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi _{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,G(X))\\\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon _{X}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(FG(X),X)\\\Phi _{Y,FY}(1_{FY})&=\eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{aligned}}}$

この節の加筆が望まれています。 （2009年11月）

• quantification Any morphism f : X → Y in a category with pullbacks induces a monotonous map ${\displaystyle f^{*}:{\text{Sub}}(Y)\to {\text{Sub}}(X)}$

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1. ^ arXiv.org: John C. Baez Higher-Dimensional Algebra II: 2-Hilbert Spaces.
2. ^ William Lawvere, Adjointness in foundations, Dialectica, 1969, available here。今は異なる記法が使われる。Peter Smith in these lecture notes よるより簡単な紹介は、先の記事の考えにも基づいている
3. ^ Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, (1992) Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 See page 58

参考文献

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990) (PDF). Abstract and Concrete Categories. The joy of cats. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001. http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. MR1712872. Zbl 0906.18001. https://books.google.com/books?id=MXboNPdTv7QC 

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Adjoint functor", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• Adjunctions Seven short lectures on adjunctions.

表 話 編 歴 圏論
主要項目	圏 射 エピ モニック 図式 可換図式 自然変換 圏同値 反対圏 始対象と終対象 普遍性 米田の補題 双対 極限 帰納極限 射影極限 積 余積 像 余像 等化子 余等化子 トポス 核 余核 引き戻し モナド Kan拡張
関手	加法的 完全 充満 随伴 対角 忠実 導来 表現可能 本質的全射 Hom関手
具体的圏	関手圏 前加法圏 集合の圏 マグマの圏 群の圏 アーベル群の圏 擬環の圏 環の圏 加群の圏 ベクトル空間の圏 多元環の圏 位相空間の圏 距離空間の圏 多様体の圏
圏の類	完備圏 コンマ圏 部分圏 モノイド閉圏 デカルト閉圏 アーベル圏 導来圏 クライスリ圏 デカルトモノイド圏
一般化	豊穣圏 2-圏 圏の圏
人物	ソーンダース・マックレーン サミュエル・アイレンベルグ アレクサンドル・グロタンディーク ウィリアム・ローヴェア ハインリッヒ・クライスリ
関連分野	代数幾何学 普遍代数 ホモロジー代数
関連項目	『圏論の基礎』

表 話 編 歴 関手の種類
加法的 完全 充満 随伴 対角 忠実 導来 滑らか（英語版） 表現可能 本質的全射 忘却（英語版） モノイダル（英語版） Conservative（英語版） Enriched（英語版） Logical（英語版）