関数型符号
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/26 06:05 UTC 版)
曲線 X、因子 G、有理点群 P i {\displaystyle P_{i}} から構築される関数型符号は以下の通りである。 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 上の L(G) の固定基底 f1, f2, ..., fk について、対応する F q n {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}} 内のゴッパ符号は、 (fi(P1), fi(P2), ..., fi(Pn)) というベクトルによって F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 上に分布する。等価的に α : L ( G ) ⟶ F n {\displaystyle \alpha :L(G)\longrightarrow \mathbb {F} ^{n}} の像としても定義され、ここで f は f ⟼ ( f ( P 1 ) , … , f ( P n ) ) {\displaystyle f\longmapsto (f(P_{1}),\dots ,f(P_{n}))} で定義される。 上記で定義された P i {\displaystyle P_{i}} を使って因子を D = P 1 + P 2 + ⋯ + P n {\displaystyle D=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}} とする。通常ゴッパ符号は C(D,G) と記述される。 次に、C 上の因子 D と符号のパラメータの関係を示す。l(D) という記法は L(D) の次元を意味する。 命題 ゴッパ符号 C(D,G) の次元は k = l ( G ) − l ( G − D ) {\displaystyle k=l(G)-l(G-D)} であり、2つの符号語間の最小ハミング距離は d ≥ n − deg ( G ) {\displaystyle d\geq n-\deg(G)} である。 証明 C ( D , G ) ≅ L ( G ) / ker ( α ) {\displaystyle C(D,G)\cong L(G)/\ker(\alpha )} なので、次が成り立つことを示さなければならない。 ker ( α ) = L ( G − D ) {\displaystyle \ker(\alpha )=L(G-D)} f ∈ ker ( α ) {\displaystyle f\in \ker(\alpha )} と仮定する。すると f ( P i ) = 0 , i = 1 , … , n {\displaystyle f(P_{i})=0,i=1,\dots ,n} なので、 d i v ( f ) > D {\displaystyle \mathrm {div} (f)>D} である。従って f ∈ L ( G − D ) {\displaystyle f\in L(G-D)} である。逆に f ∈ L ( G − D ) {\displaystyle f\in L(G-D)} と仮定する。すると P i < G , i = 1 , … , n {\displaystyle P_{i}
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